Aiuto con teorema sugli integrali

[Sk_Anonymous]

Ciao, oggi il professore ha spiegato un teorema intitolato "caratterizzazione dell'integrabilità usando le somme di Riemann". Le ipotesi sono:
Sia $f:[a,b]$ a valori in R, limitata. Allora sono equivalenti:
1) $f$ è integrabile secondo Riemann e il valore dell'integrale fra a e b è un certo numero $l$;
2) per ogni epsilon maggiore di 0, esiste un indice delta dipendente da epsilon tale che, per ogni decomposizione di ampiezza minore di delta(epsilon), si ha che le somme di Riemann meno l (il valore di quell'integrale), è, in modulo, minore di epsilon. Qualcuno ha capito di quale teorema si tratta e quale sia la dimostrazione visto che non ci ho capito molto? Bisogna dimostrare che 1 implica 2 e viceversa. Grazie mille, sul libro non lo trovo

[j18eos]

Indubbiamente quanto riportato qui(click) da wikipedia!

[Sk_Anonymous]

ciao, potresti dirmi qual è il teorema di preciso, su wikipedia ce ne sono un sacco, grazie

[j18eos]

Ti ho riportato il link al teorema (ho aggiunto il suono "click" vicino) in interesse; a mio sapere non è che abbia un nome.

[regim]

Il teorema è leggermente più complicato del link indicato da J18eos, quel link, se non erro, si riferisce al caso di una funzione continua, oppure mi è sfuggito il teorema. Comunque qui abbiamo solo che la funzione è limitata, in realtà la dimostrazione l'ho mutuata simile e adattata a questo caso dalla teoria della misura di Peano-Jordan.
Allora, il caso [tex]2 \rightarrow 1[/tex] è semplice, e non sto a scriverlo, implica facilmente che gli insiemi delle somme superiori e inferiori sono separati e contigui, da cui il numero reale(punto di separazione), non può essere diverso dal limite che, quindi, coinciderà con l'integrale.
Il problema [tex]1 \rightarrow 2[/tex] è invece un pochino più complesso, perchè non abbiamo a che fare con una funzione continua, da cui sfruttando l'uniforme continuità la cosa diventerebbe "banale", ma con una funzione limitata.

Caso: [tex]1 \rightarrow 2[/tex]
Dim : Consideriamo le ipotesi date sopra e [tex]|f|\le M[/tex], sia dato quindi l'intervallo [tex][a,b][/tex] e una sua partizione [tex]P[/tex] costituita da [tex]n[/tex] punti inclusi gli estremi e tale che, fissato un dato [tex]\epsilon > 0[/tex], valga la nota relazione:

[tex]D = U(f,P)-L(f,P) < \epsilon[/tex]

Sia ora [tex]Q[/tex] una qualsiasi altra partizione di norma [tex]\delta[/tex].Questa sarà comunque sempre costituita da due famiglie di sottointervalli di [tex][a,b][/tex] : quella i cui sottointervalli non contengono punti della partizione [tex]P[/tex], e la chiamo [tex]a[/tex], e l'altra i cui sottointervalli li contengono e che chiamo [tex]b[/tex].
Se limitatamente ai sottointervalli della prima specie calcolo la differenza tra la somma superiore e quella inferiore, trovo che questa soddisfa la seguente relazione:

[tex]A = U_a(f,Q)-L_a(f,Q) \le D[/tex]

Se per la seconda, calcolo la medesima differenza trovo:

[tex]B = U_b(f,Q)-L_b(f,Q) \le 2M\delta*(n-1)[/tex]

Questo perchè [tex]\delta * (n-1)[/tex] è un ampiezza che copre certamente gli intervalli di tipo [tex]B[/tex], mentre [tex]2M[/tex] maggiora le differenza tra gli estremi superiori e inferiori di [tex]f[/tex] in questi stessi sottointervalli. In definitiva possiamo scegliere [tex]\delta[/tex] in modo che:

[tex]A + B \le D + 2M\delta*(n-1) < \epsilon[/tex]
e ciò è possibile se poniamo:

[tex]\delta < \delta_\epsilon = {{\epsilon - D} \over {2M(n-1)}[/tex] .



PS
Questo teorema è importante perchè, ai fini del calcolo dell'integrale, se esiste, possiamo suddividere l'intervallo come vogliamo, purchè la norma tenda a zero.

[Sk_Anonymous]

"regim":Il teorema è leggermente più complicato del link indicato da J18eos, quel link, se non erro, si riferisce al caso di una funzione continua, oppure mi è sfuggito il teorema. Comunque qui abbiamo solo che la funzione è limitata, in realtà la dimostrazione l'ho mutuata simile e adattata a questo caso dalla teoria della misura di Peano-Jordan.
Allora, il caso [tex]2 \rightarrow 1[/tex] è semplice, e non sto a scriverlo, implica facilmente che gli insiemi delle somme superiori e inferiori sono separati e contigui, da cui il numero reale(punto di separazione), non può essere diverso dal limite che, quindi, coinciderà con l'integrale.
Il problema [tex]1 \rightarrow 2[/tex] è invece un pochino più complesso, perchè non abbiamo a che fare con una funzione continua, da cui sfruttando l'uniforme continuità la cosa diventerebbe "banale", ma con una funzione limitata.

Caso: [tex]1 \rightarrow 2[/tex]
Dim : Consideriamo le ipotesi date sopra e [tex]|f|\le M[/tex], sia dato quindi l'intervallo [tex][a,b][/tex] e una sua partizione [tex]P[/tex] costituita da [tex]n[/tex] punti inclusi gli estremi e tale che, fissato un dato [tex]\epsilon > 0[/tex], valga la nota relazione:

[tex]D = U(f,P)-L(f,P) < \epsilon[/tex]

Sia ora [tex]Q[/tex] una qualsiasi altra partizione di norma [tex]\delta[/tex].Questa sarà comunque sempre costituita da due famiglie di sottointervalli di [tex][a,b][/tex] : quella i cui sottointervalli non contengono punti della partizione [tex]P[/tex], e la chiamo [tex]a[/tex], e l'altra i cui sottointervalli li contengono e che chiamo [tex]b[/tex].
Se limitatamente ai sottointervalli della prima specie calcolo la differenza tra la somma superiore e quella inferiore, trovo che questa soddisfa la seguente relazione:

[tex]A = U_a(f,Q)-L_a(f,Q) \le D[/tex]

Se per la seconda, calcolo la medesima differenza trovo:

[tex]B = U_b(f,Q)-L_b(f,Q) \le 2M\delta*(n-1)[/tex]

Questo perchè [tex]\delta * (n-1)[/tex] è un ampiezza che copre certamente gli intervalli di tipo [tex]B[/tex], mentre [tex]2M[/tex] maggiora le differenza tra gli estremi superiori e inferiori di [tex]f[/tex] in questi stessi sottointervalli. In definitiva possiamo scegliere [tex]\delta[/tex] in modo che:

[tex]A + B \le D + 2M\delta*(n-1) < \epsilon[/tex]
e ciò è possibile se poniamo:

[tex]\delta < \delta_\epsilon = {{\epsilon - D} \over {2M(n-1)}[/tex] .



PS
Questo teorema è importante perchè, ai fini del calcolo dell'integrale, se esiste, possiamo suddividere l'intervallo come vogliamo, purchè la norma tenda a zero.

Ciao, ti ringrazio per la dimostrazione dal momento che effettivamente sembra quella fatta dal professore, però volevo chiederti se potevi specificare il significato delle lettere dal momento che io ne uso di diverse e dunque non riesco a "decifrare" esattamente quello che c'è scritto. Grazie

[regim]

[tex]U(f,P)[/tex] in questo simbolo U sta per Upper, e rappresenta la somma superiore della funzione f sulla partizione P, e si ottiene suddividendo prima l'intervallo [tex][a,b][/tex] in sottointervalli parziali [tex][c_i,c_{i+1}][/tex] con [tex]i=\{1,..,n-1\}[/tex] [tex]c_1 = a[/tex], [tex]c_n = b[/tex], e considerando poi per ogni sottointervallo i numeri reali [tex]M_i = \sup\{f(x) : x \in [c_i,c_i+1]\}[/tex]. La somma superiore è quindi espressa da:

[tex]U(f,P) = \sum_{i=1}^{n-1} M_i*(c_{i+1} - c_i)[/tex].

Analogo discorso per [tex]L(f,P)[/tex] ove L sta per Lower, e si considerano ovviamente gli estremi inferiori al posto dei superiori nella sommatoria di cui sopra, il resto del discorso è identico.

La norma [tex]\delta[/tex] di una partizione è il massimo delle lunghezze dei sottointervalli.

[Sk_Anonymous]

Ciao regim, innanzitutto ti ringrazio per l'aiuto. Allora, nella dimostrazione dal punto 1 al punto 2, che è la più complicata, innanzitutto tu hai tradotto le ipotesi, e cioè che la funzione è integrabile secondo Riemann. Poi hai considerato due partizioni, la prima che non contiene i punti della partizione di partenza, e la seconda che contine anche i punti della partizione (decomposizione) di partenza. Fin qui mi pare tutto ok.
Poi non ho capito le disuguaglianze che hai scritto. Partiamo dalla prima:[tex]A = U_a(f,Q)-L_a(f,Q) \le D[/tex]
Se la partizione che sto ora considerando non contiene i punti della partizione originaria, perchè posso scrivere questa disuguaglianza?

[regim]

Perchè stai considerando una sottofamiglia, non tutti gli intervalli parziali.
[edit] Non sto considerando due partizioni ma [tex]una[/tex]sola, di norma [tex]\delta[/tex]. E' poi il conto finale che ti dice come questo delta debba essere scelto, in funzione di [tex]\epsilon[/tex].

[Sk_Anonymous]

Ciao, allora, se è vera quella disuguaglianza, e cioè che la differenza tra le somme superiori e le somme inferiori (riferite ad una partizione che non contiene punti della partizione originaria) è minore della differenza $U-L$ riferita alla partizione data in ipotesi, significa che la partizione $P_a$ è più fine della partizione $P$ di partenza, vero? Cioè se, in riferimento alla disuguaglianza [tex]A = U_a(f,Q)-L_a(f,Q) \le D[/tex], le somme superiori e le somme inferiori sono ancora più vicine tra loro, significa che la partizione che sto usando è più fitta della prima. Però non ho capito perchè è più fitta.

[regim]

Aspetta quello che devi dimostrare non è che la funzione sia integrabile perchè quello è assodato, è nell'ipotesi, quello che devi dimostrare è che sei in grado di scegliere un [tex]\delta_{\epsilon}[/tex] tale che, qualsiasi partizione di norma inferiore, sia tale che la differenza tra la somma superiore e quella inferiore riuslti minore di [tex]\epsilon[/tex] fissato a piacere.
Allora fissi una qualsiasi altra partizione di norma [tex]\delta[/tex] e poi deduci che affinchè quanto detto sopra si verifichi deve essere soddisfatta una relazione che calcoli alla fine.
La partizione scelta [tex]Q[/tex]non è necessariamente un raffinamento della [tex]P[/tex], quest'ultima ti serve per giustificare la scelta di [tex]\delta_{\epsilon}[/tex].

[edit] Cioè tu parti col considerare una [tex]P[/tex]che soddisfi la relazione [tex]U-L< \epsilon[/tex] questa [tex]P[/tex]avrà un certo numero [tex]n[/tex]di intervalli, e usi poi questi elementi per calcolarti [tex]\delta_{\epsilon}[/tex].

[Sk_Anonymous]

Allora, io sui miei appunti ho scritto che quello che devo dimostrare è che le somme di Riemann sono vicine al valore dell'integrale $l$, a meno di un epsilon sempre più piccolo. Cioè devo dimostrare che le somme di Riemann -$l$ sono, in modulo, minori di epsilon. Forse tu ti riferisci a qualche altro teorema o forse mi sto confondendo?

Scusami se ho la testa un pò dura, però è da 5 mesi che faccio Analisi e ormai è arrivato il momento di metterla da parte per far ricaricare un pò le batterie

[regim]

Cioè tu parti col considerare una [tex]P[/tex]che soddisfi la relazione [tex]D=U-L< \epsilon[/tex] questa [tex]P[/tex]avrà un certo numero [tex]n[/tex]di intervalli, e usi poi questi elementi per calcolarti la [tex]\delta_{\epsilon}[/tex].
Ma siccome tu hai che l'integrale sta in mezzo, quando hai dimotrato che le somme superiori e inferiori distano meno di [tex]\epsilon[/tex] quando la norma della partizione scelta a caso [tex]Q[/tex]è [tex]\delta< \delta_{\epsilon}[/tex], le somme inferiori e superiori singolarmente ciascuna disterà dall'integrale una quantità anch'essa minore di [tex]\epsilon[/tex].

[Sk_Anonymous]

Allora, all'inizio ci siamo. Poi tu consideri un'altra partizione, $Q$, di norma delta. Ma la norma della partizione $Q$ è minore della norma della partizione $P$, cioè delta

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[regim]

Stai partendo con una Q a caso, sono i ragionamenti che fai dopo che ti indicano quanto deve valere la sua norma affinchè valga la relazioni che hai scritto alla fine. Ciao Scusami ora.

[Sk_Anonymous]

Ok, grazie

[Sk_Anonymous]

Regim un'ultima cosa: riflettendoci, comincia ad essermi chiaro quello che mi hai detto, in particolare quelle due disuguaglianze che hai scritto; non ho capito, però, perchè, scrivendo quest'ultima disuguaglianza, ovvia, arriviamo a dimostrare il teorema.
[tex]A + B \le D + 2M\delta*(n-1) < \epsilon[/tex]

[regim]

Perchè il delta lo sceglierai proprio in modo che valga quella relazione, allora avrai che, sceltolo opportunamente, [tex]A+B < \epsilon[/tex] e come vedi da quella relazione il delta che devi scegliere dipenderà da [tex]n[/tex] intero, da [tex]D< \epsilon[/tex] e infine da [tex]M[/tex]che è una costante,
[tex]n[/tex]e [tex]D[/tex]li hai presi in corrispondenza di quella [tex]P[/tex]che sai esistere perchè la funzione è integrabile, M è un qualunque maggiorante il modulo della funzione.

[Sk_Anonymous]

Bene, ho capito l'ultima disuguaglianza, però ancora non mi è chiaro perchè siamo giunti alla conclusione del teorema, e cioè che le somme di Riemann meno il valore dell'integrale di $f$ sono, in modulo, minori di $e$. Forse perchè, la relazione [tex]A + B \le D + 2M\delta*(n-1) < \epsilon[/tex], per un'opportuna scelta di delta, sottolinea come una funzione non è integrabile soltanto se le somme superiori meno le somme inferiori sono minori di $e$, come è detto nelle ipotesi, ma anche se una qualsiasi espressione che coinvolge somme superiori e inferiori è minore di un numero $e>0$ arbitrario?

[regim]

Siamo arrivati a dimostrare il teorema, o almeno una implicazione del teorema, perchè hai dimostrato che è sufficiente prendere la norma minore di un certo delta per avere che la differenza di cui sopra sia minore di epsilon, e quindi anche il modulo della differenza tra l'integrale e singolarmente ciascuna delle due somme integrali, questo perchè l'integrale è sempre in mezzo(termine non corretto ma spero di essermi spiegato) alle due somme.

Lo scopo della formula finale è solo di dimostrare la tesi. La tua conclusione comunque ammette un'interpretazione corretta, cioè a patto che alla fine dimostri che la differenza tra somma inferiore e superiore in corrispondenza di una partizione, sia minore di un arbitrario epsilon positivo.

[Sk_Anonymous]

Ok, bene, un'ultima cosa riguardo sempre l'ultima relazione. $A+B$ rappresenta la "somma della differenza di due somme superiori ed inferiori", vero? Quindi, siccome questa differenza può tendere a 0, essendo minore di un delta arbitrario, significa che tali somme inferiori e superiori convergono ad un limite comune (cioè la funzione è integrabile secondo Riemann, come peraltro indicato nelle ipotesi); però, come tu dici giustamente, se il valore dell'integrale, così come quello della somma di Riemann sta in mezzo alla somma inferiore e superiore, e queste ultime si avvicinano a un valore comune, anche la quantità "somme di Riemann meno integrale" tende a 0, come volevasi dimostrare. Scusami se insisto, però questo teorema non mi sembra sia di facile comprensione. E allora, se tutto quello che ho detto sino ad ora è vero, non si può concludere sin da subito che, siccome per ipotesi $U-L

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