Aiuto con sommatoria!

[DeppeP]

Ciao a tutti!
Sto cercando lo sviluppo in serie di Laurent in un intorno di 0 della funzione : $f(z)=1/(1-z) sin( pi/z)$.
Mi trovo quindi ad avere a che fare con la serie:
$sum_(m,n = 0)^(+oo) (-1)^n (pi)^(2n+1) / (2n+1!) z^(m-2n-1)$
Che voglio trasformare in una serie di potenze in z. l'idea è che, definito $k=m-2n$, cerco di isolare l'indice n in una sommatoria interna che si occuperà di costruire i miei coefficienti. Da definizione K potrà variare tra $-oo$ e $+oo$:
$sum_(k = -oo)^(+oo)z^(k-1) sum_(n=?)^(?) (-1)^n (pi)^(2n+1) / (2n+1!)$
Non resta che stabilire i limiti inf e sup per l'indice n a k fissati. Essendo $n=(m-k)/2$, non abbiamo limite superiore:
$sum_(k = -oo)^(+oo)z^(k-1) sum_(n=?)^(oo) (-1)^n (pi)^(2n+1) / (2n+1!)$
Ho invece qualche problema con l'indice inferiore. Sappiamo
$0 $-k $-k/2<(m-k)/2=n Ma n deve essere positivo e k può variare tra tutti gli interi. Ho quindi immaginato il limite inferiore essere $min(0,k/2)$-
Informalmente la serie diventa:
$sum_(k = -oo)^(+oo)z^(k-1) sum_(n=min{0,k/2})^(oo) (-1)^n (pi)^(2n+1) / (2n+1!)$
Definendo un ulteriore indice $j=2n$ ottengo:
$sum_(k = -oo)^(+oo)z^(k-1) sum_(j=min{0,k})^(oo) (-1)^(j/2) (pi)^(j+1) / (j+1!)$
La cosa però un po' mi puzza . Ho l'impressione di aver pasticciato con tutti questi indici, qualcuno riesce ad aiutarmi ?
Grazie amici!!

[DeppeP]

tento un up

[gugo82]

Ucciderei chi assegna questi esercizi di contazzi...

Preferisco postare i miei conti e lasciare a te il compito di verificare se collimano coi tuoi.
Hai:
\[
\begin{split}
\frac{1}{1-z} &= \sum_{n=-\infty}^\infty a_n\ z^n\qquad \text{con } a_n:=\begin{cases} 0 & \text{, se } n<0 \\
1 &\text{, se } n\geq 0
\end{cases}\\
\sin \frac{\pi}{z} &= \sum_{n=-\infty}^\infty b_n\ z^n\qquad \text{con } b_n:=\begin{cases} 0 & \text{, se } n>0 \text{ o } n=2h\leq 0\\
\frac{(-1)^{(1-n)/2}\ \pi^{-n}}{(-n)!} &\text{, se } n=2h+1\leq 0
\end{cases}
\end{split}
\]
quindi lo sviluppo di Laurent intorno a \(0\) è:
\[
\frac{1}{1-z}\ \sin \frac{\pi}{z} = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n z^n\qquad \text{con } c_n:= \sum_{i+j=n} a_i\ b_j = \sum_{j=-\infty}^\infty a_{n-j}\ b_j\; ,
\]
e tutto sta a determinare i coefficienti \(c_n\).
Dato che \(a_n\) è un gradino unitario, hai:
\[
c_n= \sum_{j=-\infty}^n b_j \; ;
\]
d'altra parte i \(b_j\) sono nulli per \(j\geq 0\), sicché:
\[
c_n= \sum_{j=-\infty}^{\min \{ -1, n\} } b_j\; ,
\]
e sono anche nulli i \(b_j\) con \(j\) pari, dunque:
\[
c_n= \sum_{j\leq \min \{ -1, n\},\ j \text{ dispari}}\!\!\!\!\!\! b_j\; .
\]
Ora:

[*:2bftaohr] se \(n\geq 0\), si ha:
\[
\begin{split}
c_n &= \sum_{j=-1,-3,-5,\cdots } b_j\\
&= \sum_{h=0}^\infty b_{-1-2h}\\
&= \sum_{h=0}^\infty \frac{(-1)^h \pi^{2h+1}}{(2h+1)!} \\
&= \sin 1
\end{split}
\]

[/*:m:2bftaohr]
[*:2bftaohr] se \(n\leq 0\) è pari del tipo \(-2N\), si ha:
\[
\begin{split}
c_n &= \sum_{j=-n-1,-n-3,-n-5,\cdots} b_j\\
&= \sum_{h=N}^\infty b_{-1-2h}\\
&= \sum_{h=-n/2}^\infty \frac{(-1)^h \pi^{2h+1}}{(2h+1)!}
\end{split}
\]

[/*:m:2bftaohr]
[*:2bftaohr] se \(n\leq 0\) è dispari del tipo \(-2N-1\), si ha:
\[
\begin{split}
c_n &= \sum_{j=-n,-n-2,-n-4,\cdots} b_j\\
&= \sum_{h=N}^\infty b_{-1-2h}\\
&= \sum_{h=-(n+1)/2}^\infty \frac{(-1)^h \pi^{2h+1}}{(2h+1)!}
\end{split}
\][/*:m:2bftaohr][/list:u:2bftaohr]

Quindi, se non ho sbagliato i conti, è:
\[
c_n=\begin{cases} \sin 1 &\text{, se } n\geq 0\\
\sum_{h=\lfloor -n/2\rfloor}^\infty \frac{(-1)^h \pi^{2h+1}}{(2h+1)!} &\text{, se } n<0\; .
\end{cases}
\]
Che ti pare?

[DeppeP]

Gugo sei sempre mitico, grazie mille! Così ad occhio credo di aver ragionato bene . Più tardi controllerò con più attenzione.
E davvero preferisco non dire la mia su questi scritti pazzeschi. Non hai idea di che razza di integrali con i metodi dell'analisi complessa ci troviamo a dover risolvere

[gugo82]

Prego.

[ot]Metodi Matematici per la Fisica, I suppose...

Dove? (se non sono indiscreto)[/ot]

[DeppeP]

[ot]Trieste [/ot]