Aiuto con questo limite....non capisco proprio come si fa
$((arccos(1/(1+x^2)))^2)/x il limite tende a zero...ho provato con de hopital...ma il procedimento è piuttosto lungo..e non trovo un limite notevole adatto...qualkuno può aiutarmi????
Risposte
[tex]$x \to 0$[/tex]?
Sostituisci [tex]$y=\frac{1}{1+x^2}\stackrel{x \to 0}{\to}1$[/tex], poi [tex]$t=\arccos y \stackrel{y \to 1}{\to} 0$[/tex]. Dovresti ricondurti a un limite notevole.
Sostituisci [tex]$y=\frac{1}{1+x^2}\stackrel{x \to 0}{\to}1$[/tex], poi [tex]$t=\arccos y \stackrel{y \to 1}{\to} 0$[/tex]. Dovresti ricondurti a un limite notevole.
quale limite notevole???
e poi come faccio per la x del denominatore???
[tex]$x^2=\frac{1}{y}-1=\frac{1-y}{y} \, \Leftrightarrow \, x=\pm\sqrt{\frac{1-y}{y}}$[/tex]
Nota che il segno dipende dalla positività/negatività di $x$. Quindi in un intorno di [tex]$0$[/tex] devi controllare se limite destro e sinistro coincidono per dire che il limite esiste.
Ovviamente, devi capire a cosa tendono le altre variabili. Per cui hai: [tex]$y\stackrel{x \to 0^{\pm}}{\to}1^{-}$[/tex] (e quindi [tex]$t=\arccos y \to 0$[/tex] in entrambi i casi; ovviamente tale limite non avrebbe avuto senso per [tex]$y \to 1^{+}$[/tex]).
Perciò, con le due sostituzioni ottieni [tex]$\pm \frac{(\arccos y)^2}{\sqrt{\frac{1-y}{y}}}=\pm \frac{t^2 \sqrt{\cos t}}{\sqrt{1-\cos t}}=\pm \sqrt{\cos t \frac{t^4}{1-\cos t}}$[/tex].
Da cui, sfruttando il limite notevole [tex]$\lim_{t \to 0} \frac{1- \cos t}{t^2}=\frac{1}{2}$[/tex], ottieni il valore del limite, che risulta essere uguale sia calcolato con il segno [tex]$+$[/tex] (cioè per [tex]$x \to 0^{+}$[/tex]) che con il segno [tex]$-$[/tex] (cioè per [tex]$x \to 0^{-}$[/tex]), proprio perché è nullo.
Penso che sfruttando gli infinitesimi equivalenti avresti concluso più velocemente, ma non so se li hai fatti.
Nota che il segno dipende dalla positività/negatività di $x$. Quindi in un intorno di [tex]$0$[/tex] devi controllare se limite destro e sinistro coincidono per dire che il limite esiste.
Ovviamente, devi capire a cosa tendono le altre variabili. Per cui hai: [tex]$y\stackrel{x \to 0^{\pm}}{\to}1^{-}$[/tex] (e quindi [tex]$t=\arccos y \to 0$[/tex] in entrambi i casi; ovviamente tale limite non avrebbe avuto senso per [tex]$y \to 1^{+}$[/tex]).
Perciò, con le due sostituzioni ottieni [tex]$\pm \frac{(\arccos y)^2}{\sqrt{\frac{1-y}{y}}}=\pm \frac{t^2 \sqrt{\cos t}}{\sqrt{1-\cos t}}=\pm \sqrt{\cos t \frac{t^4}{1-\cos t}}$[/tex].
Da cui, sfruttando il limite notevole [tex]$\lim_{t \to 0} \frac{1- \cos t}{t^2}=\frac{1}{2}$[/tex], ottieni il valore del limite, che risulta essere uguale sia calcolato con il segno [tex]$+$[/tex] (cioè per [tex]$x \to 0^{+}$[/tex]) che con il segno [tex]$-$[/tex] (cioè per [tex]$x \to 0^{-}$[/tex]), proprio perché è nullo.
Penso che sfruttando gli infinitesimi equivalenti avresti concluso più velocemente, ma non so se li hai fatti.
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