Aiuto con punti stazionari
Salve. Premetto che generalmente con gli esercizi non ho alcun problema avendo ben capito tutti gli argomenti, quasi tutti completamente. Però a volte ho delle difficoltà nelle operazioni di base, perché so che si tratta di cose base.
Ho la seguente funzione di cui mi si chiede di trovare i punti stazionari: $f = x^2y − xy^2 − 2x^2 + 4xy − 2y^2 − 4x + 4y$
Calcolando le componenti del gradiente e uguagliandole a 0, ottengo:
$2xy-y^2-4x+4y-4=0$ e $x^2-2xy+4x-4y+4$
Ora, qui so che si tratta di raccoglimento, ma boh. AHAHA nel senso, ho provato, tramite confronto, ad isolare in entrambe il termine $2xy$ ma non so se si può fare e non sono sicuro. Voi come procedereste?
Ho la seguente funzione di cui mi si chiede di trovare i punti stazionari: $f = x^2y − xy^2 − 2x^2 + 4xy − 2y^2 − 4x + 4y$
Calcolando le componenti del gradiente e uguagliandole a 0, ottengo:
$2xy-y^2-4x+4y-4=0$ e $x^2-2xy+4x-4y+4$
Ora, qui so che si tratta di raccoglimento, ma boh. AHAHA nel senso, ho provato, tramite confronto, ad isolare in entrambe il termine $2xy$ ma non so se si può fare e non sono sicuro. Voi come procedereste?
Risposte
Somma la prima equazione alla seconda.
Quindi consigli di usare il metodo di riduzione?
Non lo so come si chiama, ma fallo, secondo me ti produce una semplificazione.
Che proprietà è questa?
Non capisco, è tanto importante che abbia un nome? Un sistema di due equazioni
\[
\begin{cases} f(x)=0, \\ g(x)=0, \end{cases}
\]
dove \(x\) appartiene a un insieme qualunque, nel nostro caso \(\mathbb R^2\), è equivalente a
\[
\begin{cases} f(x)+g(x)=0, \\ g(x)=0. \end{cases}
\]
Dimostratelo come esercizio, queste sono cose che bisogna saper fare al volo. (SUGGERIMENTO: è facilissimo, praticamente ovvio).
\[
\begin{cases} f(x)=0, \\ g(x)=0, \end{cases}
\]
dove \(x\) appartiene a un insieme qualunque, nel nostro caso \(\mathbb R^2\), è equivalente a
\[
\begin{cases} f(x)+g(x)=0, \\ g(x)=0. \end{cases}
\]
Dimostratelo come esercizio, queste sono cose che bisogna saper fare al volo. (SUGGERIMENTO: è facilissimo, praticamente ovvio).
Sì, è abbastanza importante per me sapere di che proprietà si tratta, per capire il perché si fa.
È semplicemente uno dei due principi di equivalenza delle equazioni: sommare la stessa quantità ai due membri di un'equazione non altera l'insieme delle soluzioni.
Ah ai due membri, d'accordo: pensavo intendessi sommare la seconda equazione solo a uno dei due membri della prima
Ma scusa, non hai letto il mio messaggio precedente...? Mi pareva di averlo scritto chiaramente, non ti è risultato chiaro? Comunque, si, è la stessa cosa che dice alex, naturalmente, solo che scritta in formule.
No. Dal primo messaggio mi sembrava che intendessi di sommare il primo membro della seconda solo al primo membro della prima.
Si, ma è perché il secondo membro fa zero. Avrei dovuto scrivere \(f(x)+g(x)=0+0\).
Comunque, se non capisci qualcosa che scrivo, chiedi, non ti fare scrupolo.
Comunque, se non capisci qualcosa che scrivo, chiedi, non ti fare scrupolo.
Ah d'accordo, semplicemente somma membro a membro. Ok, ti ringrazio, gentilissimo.
Mi si è presentato un problema simile. Ora, svolgendo la somma membro a membro nell'esercizio che avevo postato, era fatto apposta affinché restasse $x = + - y$. Mi è tuttavia capitato il caso seguente:
${2xy+y^2-2x-1=0$
${x^2+2xy-4y-4=0$
La somma membro a membro non mi sembra una trovata troppo furba in questo caso, poiché otterrei $4xy+x^2+y^2-2x-4y-5=0$ che non è per nulla comoda. In questo caso se ricorressi al confronto isolando in entrambe il termine $2xy$ può andare? E' una manovra lecita?
${2xy+y^2-2x-1=0$
${x^2+2xy-4y-4=0$
La somma membro a membro non mi sembra una trovata troppo furba in questo caso, poiché otterrei $4xy+x^2+y^2-2x-4y-5=0$ che non è per nulla comoda. In questo caso se ricorressi al confronto isolando in entrambe il termine $2xy$ può andare? E' una manovra lecita?
Oh mamma, "lecito", che brutto aggettivo. Nessuna legge te lo impedisce. Altra cosa è se è *utile* o no. Per saperlo, non c'è altro modo che fare il conto.
Fallo e vediamo che equazione ti viene fuori.
Fallo e vediamo che equazione ti viene fuori.
Nah, non credo: mi viene fuori un'altra roba brutta: $x^2-y^2+2x-4y-3=0 $ fa abbastanza schifo. Come consiglieresti di procedere?
"umbe":
Nah, non credo: mi viene fuori un'altra roba brutta: $x^2-y^2+2x-4y-3=0 $ fa abbastanza schifo. Come consiglieresti di procedere?
Beh, "brutta", "schifo"... Su, non esagerare, che:
\[
x^2-y^2+2x-4y-3 = (x+1)^2 - (y+2)^2
\]
per fatti noti dalla prima liceo.
Refuso: $(x+1)^2$
"gugo82":
[quote="umbe"]Nah, non credo: mi viene fuori un'altra roba brutta: $x^2-y^2+2x-4y-3=0 $ fa abbastanza schifo. Come consiglieresti di procedere?
Beh, "brutta", "schifo"... Su, non esagerare, che:
\[
x^2-y^2+2x-4y-3 = (x+1)^2 - (y+2)^2
\]
per fatti noti dalla prima liceo.
[/quote]Ma che scemo che sono, è vero. Ti ringrazio... ma come ho fatto a non vederlo?! Così ho $(x+1)^2=(y+2)^2$ che significa $x=y+1$ che sostituisco nell'altra equazione e risolvo tutto per sostituzione.
Ma anche $y=-x-3$ o no?
"umbe":
Così ho $(x+1)^2=(y+2)^2$ che significa $x=y+1$
In realtà significa $|x+1|=|y+2|$... Sempre matematica del liceo.
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