Aiuto con limite parametrico
Salve a tutti, sono nuovo del forum, volevo richiedere aiuto per un certo limite parametrico delle quali alcune dinamiche ho visto ripetersi in alcuni temi d'esame di Analisi 1.
L'esercizio richiede di studiare al variare del parametro $\alpha \in \mathbb{R}$ il seguente limite:
$$lim_{x\to 0+} \left(\frac{x^2+(sin(\frac{1}{x})+2)^\frac{\alpha}{x}}{ln(1+x+x^2)-sinh(x+x^2)}\right) $$
Io coi vari sviluppi di Taylor ho prima trattato il denominatore, avendo:
$\ln(1+x+x^2) = x+\frac{x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} + o(x^3) $
$\sinh(x+x^2) = x+x^2- \frac{x^3}{6}+o(x^3)$
Arrivando quindi ad avere il limite:
$$lim_{x\to 0+} \left(\frac{x^2+(sin(\frac{1}{x})+2)^\frac{\alpha}{x}}{-\frac{x^2}{2}-\frac{5x^3}{6}}\right) $$
A questo punto il $-\frac{5x^3}{6}$ l'ho eliminato essendo (credo) trascurabile, dato che avevo intenzione di portare tutto allo stesso grado, ovvero il secondo.
Pero' arrivato fin qui rimango perplesso di fronte a quel $(sin(\frac{1}{x})+2)^\frac{\alpha}{x}$ che son riuscito a risolvere solo per $\alpha = 0$ dandomi un $-infty$ (il limite intero intendo).
Non capisco veramente come concludere questo limite, ho provato ad usare pure vari calcolatori per verificare se effettivamente ci sia un risultato ma non son riuscito a trovare risposte.
Giustamente quel $sin(\frac{1}{x})$ non e' definito per x che tende a 0.
Non so se magari ci sia qualche magheggio da fare o qualcosa del genere, perche' ho notato che pure in altri temi d'esame si ritrova questa dinamica.
L'esercizio richiede di studiare al variare del parametro $\alpha \in \mathbb{R}$ il seguente limite:
$$lim_{x\to 0+} \left(\frac{x^2+(sin(\frac{1}{x})+2)^\frac{\alpha}{x}}{ln(1+x+x^2)-sinh(x+x^2)}\right) $$
Io coi vari sviluppi di Taylor ho prima trattato il denominatore, avendo:
$\ln(1+x+x^2) = x+\frac{x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} + o(x^3) $
$\sinh(x+x^2) = x+x^2- \frac{x^3}{6}+o(x^3)$
Arrivando quindi ad avere il limite:
$$lim_{x\to 0+} \left(\frac{x^2+(sin(\frac{1}{x})+2)^\frac{\alpha}{x}}{-\frac{x^2}{2}-\frac{5x^3}{6}}\right) $$
A questo punto il $-\frac{5x^3}{6}$ l'ho eliminato essendo (credo) trascurabile, dato che avevo intenzione di portare tutto allo stesso grado, ovvero il secondo.
Pero' arrivato fin qui rimango perplesso di fronte a quel $(sin(\frac{1}{x})+2)^\frac{\alpha}{x}$ che son riuscito a risolvere solo per $\alpha = 0$ dandomi un $-infty$ (il limite intero intendo).
Non capisco veramente come concludere questo limite, ho provato ad usare pure vari calcolatori per verificare se effettivamente ci sia un risultato ma non son riuscito a trovare risposte.
Giustamente quel $sin(\frac{1}{x})$ non e' definito per x che tende a 0.
Non so se magari ci sia qualche magheggio da fare o qualcosa del genere, perche' ho notato che pure in altri temi d'esame si ritrova questa dinamica.
Risposte
Se:
il limite sottostante:
non esiste. Tuttavia, questo inconveniente è dovuto ad una sola successione:
e, al netto di quest'ultima:
In definitiva, tra le altre cose, è necessario considerare anche la successione di cui sopra.
Non si dovrebbe scrivere così. Piuttosto, non è definito per $x=0$.
$\alpha ne 0$
il limite sottostante:
$lim_(x->0^+)[sin(1/x)+2]^(\alpha/x)$
non esiste. Tuttavia, questo inconveniente è dovuto ad una sola successione:
$[1/x_n=3/2\pi+2n\pi] ^^ [n gt= 0]$
e, al netto di quest'ultima:
$[\alpha lt 0] rarr [lim_(x->0^+)[sin(1/x)+2]^(\alpha/x)=0]$
$[\alpha gt 0] rarr [lim_(x->0^+)[sin(1/x)+2]^(\alpha/x)=+oo]$
In definitiva, tra le altre cose, è necessario considerare anche la successione di cui sopra.
"Raffyx":
Giustamente quel $sin(\frac{1}{x})$ non è definito per x che tende a 0 ...
Non si dovrebbe scrivere così. Piuttosto, non è definito per $x=0$.
Secondo me il limite esiste e vale 1. Ma devo dire che in un primo momento ero rimasto confuso anche io. Il fatto è che
\[
\exp\frac{\alpha}{x}\log(2+\sin\frac1x)\to 1.\]
\[
\exp\frac{\alpha}{x}\log(2+\sin\frac1x)\to 1.\]
Ciao Raffyx, benvenuto sul forum!
Non sbagli a trascurare il termine cubico a denominatore: tuttavia, avresti potuto anche ometterlo da subito perché i termini quadratici non si cancellano nello sviluppo di Taylor.
Io sono d'accordo con te che per $\alpha=0$ il limite è $-\infty$: infatti concordo col tuo sviluppo di Taylor del denominatore e quindi
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2+\left(\sin \frac{1}{x}+2\right)^{\frac{0}{x}}}{\log(1+x+x^2)-\sinh(x+x^2)}=\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2+1}{-\frac{x^2}{2}+\text{o}(x^2)}=-\infty$$
Concordo anche con la correzione che ti ha fatto Sergeant Elias, volevi forse intendere che il limite di $\sin \frac{1}{x}$ per $x \to 0^+$ non esiste?
Non sbagli a trascurare il termine cubico a denominatore: tuttavia, avresti potuto anche ometterlo da subito perché i termini quadratici non si cancellano nello sviluppo di Taylor.
Io sono d'accordo con te che per $\alpha=0$ il limite è $-\infty$: infatti concordo col tuo sviluppo di Taylor del denominatore e quindi
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2+\left(\sin \frac{1}{x}+2\right)^{\frac{0}{x}}}{\log(1+x+x^2)-\sinh(x+x^2)}=\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2+1}{-\frac{x^2}{2}+\text{o}(x^2)}=-\infty$$
Concordo anche con la correzione che ti ha fatto Sergeant Elias, volevi forse intendere che il limite di $\sin \frac{1}{x}$ per $x \to 0^+$ non esiste?
Ciao dissonance. Nel caso in cui:
è sufficiente considerare la successione sottostante:
per poter concludere che:
In definitiva, non mi sembra che:
Per completezza, anche il grafico di Wolfram sembra confermare la non esistenza del limite di cui sopra:
$\alpha gt 0$
è sufficiente considerare la successione sottostante:
$[1/x_n=\pi/2+2n\pi] ^^ [n gt= 0]$
per poter concludere che:
$lim_(n->+oo)[sin(1/x_n)+2]^(\alpha/x_n)=lim_(n->+oo)3^(\alpha(\pi/2+2n\pi))=+oo$
In definitiva, non mi sembra che:
$lim_(x->0^+)[sin(1/x)+2]^(\alpha/x)=1$
Per completezza, anche il grafico di Wolfram sembra confermare la non esistenza del limite di cui sopra:
$\alpha=1$
Giustissimo, chiedo scusa.
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