Aiuto con limite (no de l'hopital, no Taylor)
Ciao, qualcuno può spiegarmi come si risolve questo limite? Non bisogna usare nè de l'Hopital, ne Taylor. Io non ci riesco, ci sto provando ma non so da dove iniziare, grazie per l'aiuto.
$ lim_(x -> 0) cos{[pi*(1-x)]/2}/x $
$ lim_(x -> 0) cos{[pi*(1-x)]/2}/x $
Risposte
Fai un piccolo calcolo:
[tex]$\cos\left(\frac{\pi(1-x)}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi x}{2}\right)=\sin\frac{\pi x}{2}$[/tex]
Usando la relazione per gli archi associati complementari.
[tex]$\cos\left(\frac{\pi(1-x)}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi x}{2}\right)=\sin\frac{\pi x}{2}$[/tex]
Usando la relazione per gli archi associati complementari.
$ lim_(x -> 0) cos{[pi*(1-x)]/2}/x $
$cos( pi/2 - alpha ) = sin(alpha)$
$cos( pi/2 - alpha ) = sin(alpha)$
Grazie, ci sono riuscito, non mi ricordavo questa formula
ho un problema con quest'altro limite: $ lim_(x -> +oo ) [log_2(e^x+1)]/(x+sinx) $.
Il risultato è 1/ln2, però vorrei capire dove sbaglio con il ragionamento. Il numeratore tende a + infinito, il denominatore anche, dal momento che i possibili valori (compresi tra -1 e 1) assunti dal seno sono trascurabili: siccome il logaritmo tende a infinito più lentamente della potenza, il limite è 0. Dove ho sbagliato, e come si risolve il limite? Grazie mille
Il risultato è 1/ln2, però vorrei capire dove sbaglio con il ragionamento. Il numeratore tende a + infinito, il denominatore anche, dal momento che i possibili valori (compresi tra -1 e 1) assunti dal seno sono trascurabili: siccome il logaritmo tende a infinito più lentamente della potenza, il limite è 0. Dove ho sbagliato, e come si risolve il limite? Grazie mille
Io ti consiglio di:
al numeratore
• Trasformare il logaritmo in base 2 nel logaritmo in base $e$ seguendo questa formula.
• Scrivere l'argomento del logaritmo in questo modo: $e^x+1= e^x\(1+\frac{1}{e^x}\)$
• Utilizzare la proprietà dei logaritmi $log(a*b)= log(a)+log(b)$ per ogni a, b maggiori di zero.
al denominatore, mettere in evidenza $x$.
Prova un po'
al numeratore
• Trasformare il logaritmo in base 2 nel logaritmo in base $e$ seguendo questa formula.
• Scrivere l'argomento del logaritmo in questo modo: $e^x+1= e^x\(1+\frac{1}{e^x}\)$
• Utilizzare la proprietà dei logaritmi $log(a*b)= log(a)+log(b)$ per ogni a, b maggiori di zero.
al denominatore, mettere in evidenza $x$.
Prova un po'
ok, ci sono riuscito, però perchè il mio ragionamento è sbagliato?
Il tuo ragionamento non è corretto perchè fai degli errori di stima asintotita. In particolare devi stare attento all'argomento del logaritmo. Hai una funzione esponenziale che dà una marcia in più al logaritmo quando x tende a più infinito 
Infatti
$log_2(e^x+1)~ log_2(e^x)=log(e^x)/log(2)= x/log(2)$ quando x tende a più infinito, pertanto:
$\lim_{x\to\infty} (\log_2(e^x+1))/x=1/log(2)$ e non $\lim_{x\to\infty}( \log_2(e^x+1))/x =0$ come hai erroneamento supposto. Mi auguro sia chiaro
Infatti
$log_2(e^x+1)~ log_2(e^x)=log(e^x)/log(2)= x/log(2)$ quando x tende a più infinito, pertanto:
$\lim_{x\to\infty} (\log_2(e^x+1))/x=1/log(2)$ e non $\lim_{x\to\infty}( \log_2(e^x+1))/x =0$ come hai erroneamento supposto
. Mi auguro sia chiaro
Quello che hai detto è chiaro. Però come faccio a sapere che il limite andava risolto effettivamente in quel modo? I passaggi che hai postato non sono così "visibili", pertanto, qualora mi capiti un esercizio simile, non so come riuscire a capire esattamente come si risolve il limite
Risolvere i limiti richiede tanta pratica, bisogna allenare l'occhio. I passaggi che ti ho consigliato sono comunque canonici.
"Mathematico":
Risolvere i limiti richiede tanta pratica, bisogna allenare l'occhio. I passaggi che ti ho consigliato sono comunque canonici.
ciao, senza che apro altre discussioni, volevo essere sicuro di aver risolto correttamente questo limite:
$ lim_(x -> 1^+) sqrt(x^2-1)/ln(x+sqrt(x^2-1)) $
L'ho risolto così: ho diviso l'argomento del logaritmo al denominatore per x, naturalmente poi ho rimoltiplicato per x; poi ho diviso tutto il denominatore per il termine $sqrt(x^2-1)/x$, rimoltiplicando ovviamente; ho quindi ottenuto il limite notevole $ln{1+sqrt[(x^2-1)/x]}/[sqrt(x^2-1)/x]$ (è un limite notevole, vero?), che tende ad 1 ed infine semplificando ottengo che il limite dato vale 1. E' giusto?
Non so se ho capito bene il passaggio, ma quando dici: "diviso l'argomento del logaritmo al denominatore per x, e poi rimoltiplicato per x" hai fatto questo? $ln(x+sqrt(x^2-1)) = x*ln(1+sqrt(x^2-1))$ ? Se è questo è sbagliato: stai dividendo dentro il logaritmo per x, quindi è sempre dentro il logaritmo che devi moltiplicare (altrimenti non ho capito come hai tirato fuori dal logaritmo la x che hai raccolto).
"TTnt87":
Non so se ho capito bene il passaggio, ma quando dici: "diviso l'argomento del logaritmo al denominatore per x, e poi rimoltiplicato per x" hai fatto questo? $ln(x+sqrt(x^2-1)) = x*ln(1+sqrt(x^2-1))$ ? Se è questo è sbagliato: stai dividendo dentro il logaritmo per x, quindi è sempre dentro il logaritmo che devi moltiplicare (altrimenti non ho capito come hai tirato fuori dal logaritmo la x che hai raccolto).
si, ho moltiplicato dentro il logaritmo, poi ho "creato" il limite notevole che è andato a semplificare tutto...per quanto riguarda quella x, ho applicato la proprietà dei logaritmi, cioè $log(a*b)=loga+logb$, ti trovi?
Ok forse ho capito... avevo capito che ti rimaneva solo quella parte che hai postato... ok in pratica hai fatto questi passaggi: $sqrt(x^2-1)/ln(x+sqrt(x^2-1)) = (sqrt(x^2-1)/(ln(x)+ln(1+(sqrt(x^2-1)/x)))) = (sqrt(x^2-1)/((ln(x)+ln(1+(sqrt(x^2-1)/x)))/(sqrt(x^2-1)/x)))(x/sqrt(x^2-1)) = (x/((ln(x)+ln(1+(sqrt(x^2-1)/x)))/(sqrt(x^2-1)/x))) = (x/( ( (xln(x))/(sqrt(x^2-1))+(ln(1+(sqrt(x^2-1)/x)) )/(sqrt(x^2-1)/x ))))$ e da qui hai visto che il secondo logaritmo (quello più brutto) tende a 1 con la sua frazione... se è così mi pare giusto, ma, per curiosità, l'altra frazione (ovvero $xln(x)/sqrt(x^2-1)$ ) come l'hai visto che andava a 0 con x tendente a 1?
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