Aiuto con limite
Questo il limite:
$lim_(x->0) ((1+x)ln(1+x)-sinx)/(1-cosx)$
Ho provato a risolverlo con le equivalente asintotiche:
$ln(1+x) ~ x$
$sin(x) ~ x$
$1-cos(x) ~ x^2/2$
Ottenendo così:
$lim_(x->0) [2((1+x)x-x)]/x^2$
Il limite mi viene così $2$, ma è sbagliato, qualcuno sa dirmi perchè?
$lim_(x->0) ((1+x)ln(1+x)-sinx)/(1-cosx)$
Ho provato a risolverlo con le equivalente asintotiche:
$ln(1+x) ~ x$
$sin(x) ~ x$
$1-cos(x) ~ x^2/2$
Ottenendo così:
$lim_(x->0) [2((1+x)x-x)]/x^2$
Il limite mi viene così $2$, ma è sbagliato, qualcuno sa dirmi perchè?
Risposte
perchè devi espandere con Taylor oltre il primo ordine perchè $ln(1+x)$ si semplifica con il $-sinx$ (rimane solo l'infinitesimo e quindi perdi delle informazioni)
"cooper":
perchè devi espandere con Taylor oltre il primo ordine perchè $ln(1+x)$ si semplifica con il $-sinx$ (rimane solo l'infinitesimo e quindi perdi delle informazioni)
Scusami puoi spiegarti meglio?
Una volta sostituito $ln(1+x)$ con l'equivalenza asintotica $x$ questa poi non si va a moltiplicare con $(1+x)$?
Così otterrei $(x+x^2-x) = x^2$, no?
quello che dici è corretto il problema è che quel $x-x=0$ non è una equazione esatta. il tutto è al netto di un $o(x)$ che però non è sufficiente a dire come va a zero: sarà una potenza superiore di x ma non sappiamo quale. per saperlo è NECESSARIO espandere con Taylor per capire a che ordine di infinitesimo hai la differenza $ln(1+x)-sinx$.
un buon modo per capire quando applicare Taylor a mio avviso è di usare sempre e non dimenticarsi l'o-piccolo:quando sviluppando un pezzo questo se ne va con un altro pezzo e ti rimane solo l'o-piccolo vuol dire che non hai sviluppato a sufficienza e devi quindi andare avanti nello sviluppo.
un buon modo per capire quando applicare Taylor a mio avviso è di usare sempre e non dimenticarsi l'o-piccolo:quando sviluppando un pezzo questo se ne va con un altro pezzo e ti rimane solo l'o-piccolo vuol dire che non hai sviluppato a sufficienza e devi quindi andare avanti nello sviluppo.
"rossiii":
Ho provato a risolverlo con le equivalente asintotiche:
[...]
è sbagliato
"cooper":
non dimenticarsi l'o-piccolo
Sacrosanto. Queste "equivalenze asintotiche" sono così facili che uno ha la tentazione di trasformarle in uguaglianze ed ecco che succede il patatrac. Meglio portarsi sempre appresso l'errore sotto forma di o-piccolo o di O-grande.
Ciao rossiii,
Seguendo gli ottimi consigli di cooper e dissonance, è sufficiente sviluppare il numeratore (dove si verifica la cancellazione... ) fino al secondo ordine, cioè:
$ ln(1+x) = x - x^2/2 + o(x^3) $
$ sin(x) = x - x^3/6 + o(x^5) $
$ 1 - cos(x) = x^2/2 + o(x^4) $
Trascurando tutti gli $o$, si ha:
$ lim_{x \to 0} ((1+x)ln(1+x)-sinx)/(1-cosx) = lim_{x \to 0} frac{(1+x)(x - x^2/2) - x + x^3/6}{x^2/2} = lim_{x \to 0} frac{x^2/2 - x^3/3}{x^2/2} = 1 $
Seguendo gli ottimi consigli di cooper e dissonance, è sufficiente sviluppare il numeratore (dove si verifica la cancellazione... ) fino al secondo ordine, cioè:
$ ln(1+x) = x - x^2/2 + o(x^3) $
$ sin(x) = x - x^3/6 + o(x^5) $
$ 1 - cos(x) = x^2/2 + o(x^4) $
Trascurando tutti gli $o$, si ha:
$ lim_{x \to 0} ((1+x)ln(1+x)-sinx)/(1-cosx) = lim_{x \to 0} frac{(1+x)(x - x^2/2) - x + x^3/6}{x^2/2} = lim_{x \to 0} frac{x^2/2 - x^3/3}{x^2/2} = 1 $
"dissonance":
Sacrosanto. Queste "equivalenze asintotiche" sono così facili che uno ha la tentazione di trasformarle in uguaglianze ed ecco che succede il patatrac. Meglio portarsi sempre appresso l'errore sotto forma di o-piccolo o di O-grande.
esatto. oltretutto le equivalenze asintotiche con le somme e le sottrazioni non funzionano bene in ogni caso. quindi a priori sarebbe stato corretto usare l'o-piccolo (anche solo per formalismo).
Grazie mille a tutti ragazzi. Quindi come avrei fatto ad accorgermi che il metodo delle equivalenze asintotiche avrebbe fallito a priori? E' questo che mi risulta difficile da capire ancora..seguendo un ragionamento puramente algebrico parrebbe funzionare perché come vi ho detto al numeratore rimarrebbe $2x^2$. Quindi devo pensare che il "trucco" è seguire un ragionamento qualitativo, dovrebbe essere quello dettomi da cooper, che però non riesco a capire perché lui parla di una differenza che in realtà non esiste..
come non esiste? tu hai scritto:
$lim_(x-> 0) (2((1+x)x-x))/(x^2)$
a numeratore hai quindi $2(x+x^2-x)$. la differenza esiste eccome. ciò che sbagli è dimenticarti che esistono gli errori (gli o-piccolo). quelle equivalenze asintotiche non bastano perchè nella differenza x-x resta incognito un errore. avere quell'errore incognito non è un bene diciamo perchè questo ti dice che rimane un qualche altro termine infinitesimo che deve essere tenuto in considerazione. in pratica resti con $o(x)+x^2$ che sai andare a 0 ma non con che potenza perchè dentro ad $o(x)$ ci stanno altri infinitesimi che puoi identificare solo sviluppando ad ordini più alti.
$lim_(x-> 0) (2((1+x)x-x))/(x^2)$
a numeratore hai quindi $2(x+x^2-x)$. la differenza esiste eccome. ciò che sbagli è dimenticarti che esistono gli errori (gli o-piccolo). quelle equivalenze asintotiche non bastano perchè nella differenza x-x resta incognito un errore. avere quell'errore incognito non è un bene diciamo perchè questo ti dice che rimane un qualche altro termine infinitesimo che deve essere tenuto in considerazione. in pratica resti con $o(x)+x^2$ che sai andare a 0 ma non con che potenza perchè dentro ad $o(x)$ ci stanno altri infinitesimi che puoi identificare solo sviluppando ad ordini più alti.
Esatto, come ottimamente detto da @cooper, gli asintotici sono equivalenti allo sviluppo in serie di Taylor arrestati al primo termine infinitesimo in $x $, ma nel momento in cui tali termini vengono ad elidersi , come nella differenza a numeratore, allora bisogna prendere in considerazione i termini infinitesimi successivi al primo termine in $x $(l'asintotico per intenderci), che compaiono nello sviluppo e che sono racchiusi in quella piccola sigla $o (x) $;
A denominatore invece $cosx=sqrt (1-sin^2 (x))~~sqrt(1-x^2)~~(1-x^2/2) $, e nella differenza $1-(1-x^2/2)=x^2/2$, il termine in $x $ dello sviluppo $-x^2/2$, non si elide, quindi l'asintotico è sufficiente in quanto rimane l'infinitesimo prevalente.
A denominatore invece $cosx=sqrt (1-sin^2 (x))~~sqrt(1-x^2)~~(1-x^2/2) $, e nella differenza $1-(1-x^2/2)=x^2/2$, il termine in $x $ dello sviluppo $-x^2/2$, non si elide, quindi l'asintotico è sufficiente in quanto rimane l'infinitesimo prevalente.
Perfetto! grazie infinite a tutti quanti, ora credo di aver finalmente capito il misfatto! 
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