Aiuto con limite
Salve, vorrei un mano a capire il seguente limite:
Il mio metodo risolutivo:
innanzi tutto rimpiazzo l'arcotan(x) con x in quanto ne è asintoticamente equivalente per x->0, e poi procedo con gli sviluppi di taylor fino ad un o(x^4) per l'esponente, il radicale ed il "nuovo" logaritmo.
Ebbene non è corretto.
il limite mi tende a -1 invece che a (-4/3).
L'esercitatore invece utilizza un approccio differente e sviluppa il logaritmo con tutto l'argomento (x*arctan(x)) e poi dopo ancora, sviluppa l'arctan(x).
Ora vorrei capire perché il mio approccio (che ha sempre funzionato) in questo caso non funziona.
Io in pratica mi ritrovo con un logaritmo legittimo e mooolto più semplice (ln(1+x^2)), però a quanto pare non è corretto.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro, e scusatemi se non uso la sintassi LaTeX per essere ancora più chiaro ma è veramente complicata impararla ora.
Grazie a chi mi saprà aiutare.
Il mio metodo risolutivo:
innanzi tutto rimpiazzo l'arcotan(x) con x in quanto ne è asintoticamente equivalente per x->0, e poi procedo con gli sviluppi di taylor fino ad un o(x^4) per l'esponente, il radicale ed il "nuovo" logaritmo.
Ebbene non è corretto.
il limite mi tende a -1 invece che a (-4/3).
L'esercitatore invece utilizza un approccio differente e sviluppa il logaritmo con tutto l'argomento (x*arctan(x)) e poi dopo ancora, sviluppa l'arctan(x).
Ora vorrei capire perché il mio approccio (che ha sempre funzionato) in questo caso non funziona.
Io in pratica mi ritrovo con un logaritmo legittimo e mooolto più semplice (ln(1+x^2)), però a quanto pare non è corretto.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro, e scusatemi se non uso la sintassi LaTeX per essere ancora più chiaro ma è veramente complicata impararla ora.
Grazie a chi mi saprà aiutare.
Risposte
devi sviluppare tutto allo stesso ordine. quindi anche l'arcotangente va sviluppato ad ordini superiori. non c'è una ragione per sviluppare solo alcune cose fino ad un certo ordine ed altre no.
Ciao rossiii,
In effetti si ha:
$ lim_{x \to 0} (ln(1 + x arctan(x)) + 1 - e^(x^2))/(sqrt(1 + 2x^4) - 1) = - 4/3 $
Lo riscrivo così magari puoi eliminare quella brutta immagine e sostituirla con la formula che ti ho scritto: pulsante destro del mouse > Show Math As > AsciiMath Input e copi e incolli il contenuto della finestra che ti appare fra due simboli di \$ .
Per risolverlo in realtà bastano i limiti notevoli seguenti:
$ lim_{f(x) \to 0} frac{ln[1 + f(x)]}{f(x)} = 1 $
$ lim_{x \to 0} frac{arctan(x)}{x} = 1 $
$ lim_{f(x) \to 0} frac{e^f(x) - 1}{f(x)} = 1 $
$ lim_{f(x) \to 0} frac{[1 + f(x)]^a - 1}{f(x)} = a $
ove nel tuo caso $a = 1/2 $.
In effetti si ha:
$ lim_{x \to 0} (ln(1 + x arctan(x)) + 1 - e^(x^2))/(sqrt(1 + 2x^4) - 1) = - 4/3 $
Lo riscrivo così magari puoi eliminare quella brutta immagine e sostituirla con la formula che ti ho scritto: pulsante destro del mouse > Show Math As > AsciiMath Input e copi e incolli il contenuto della finestra che ti appare fra due simboli di \$ .
Per risolverlo in realtà bastano i limiti notevoli seguenti:
$ lim_{f(x) \to 0} frac{ln[1 + f(x)]}{f(x)} = 1 $
$ lim_{x \to 0} frac{arctan(x)}{x} = 1 $
$ lim_{f(x) \to 0} frac{e^f(x) - 1}{f(x)} = 1 $
$ lim_{f(x) \to 0} frac{[1 + f(x)]^a - 1}{f(x)} = a $
ove nel tuo caso $a = 1/2 $.
Non vorrei sbagliarmi, ma a numeratore mi sembra che non è sufficiente l'uso degli asintotici , in quanto vengono coinvolti termini successivi al primo termine nello sviluppo in serie di Taylor, pertanto sostituire $arctanx~~x $, da cui si ottiene $log (1+x^2) $ il cui sviluppo è $x^2-x^4/2$ risulta errato in quanto fa perdere alcune informazioni nello sviluppo, il modo corretto di procedere è sostituire ad $xarctanx=x(x-x^3/3+o (x^3))=x^2-x^4/3+o (x^4)$
da cui si ottiene lo sviluppo corretto $log (1+xarctanx)=log (1+(x^2-x^4/3+o (x^4))=x^2-x^4/3-x^4/2+o (x^4)$
a denominatore invece si può usare il limite notevole (asintotico) $sqrt (1+2x^4)~~(1+x^4) $.
da cui si ottiene lo sviluppo corretto $log (1+xarctanx)=log (1+(x^2-x^4/3+o (x^4))=x^2-x^4/3-x^4/2+o (x^4)$
a denominatore invece si può usare il limite notevole (asintotico) $sqrt (1+2x^4)~~(1+x^4) $.
Ciao francicko,
No, questa volta hai ragione tu...
Considerando gli sviluppi in serie già citati da francicko e lo sviluppo $e^{x^2} - 1 = x^2 + x^4/2 + o(x^5) $, trascurando tutti gli $o$ si ha:
$ lim_{x \to 0} (ln(1 + x arctan(x)) + 1 - e^(x^2))/(sqrt(1 + 2x^4) - 1) = lim_{x \to 0} (ln(1 + x arctan(x)) - (e^(x^2) - 1))/(sqrt(1 + 2x^4) - 1) =$
$ = lim_{x \to 0} frac{x^2 - x^4/3 -x^4/2 - x^2 - x^4/2}{x^4} = lim_{x \to 0} frac{- x^4/3 -x^4}{x^4} = - 1/3 - 1 = - 4/3 $
"francicko":
Non vorrei sbagliarmi
No, questa volta hai ragione tu...
Considerando gli sviluppi in serie già citati da francicko e lo sviluppo $e^{x^2} - 1 = x^2 + x^4/2 + o(x^5) $, trascurando tutti gli $o$ si ha:
$ lim_{x \to 0} (ln(1 + x arctan(x)) + 1 - e^(x^2))/(sqrt(1 + 2x^4) - 1) = lim_{x \to 0} (ln(1 + x arctan(x)) - (e^(x^2) - 1))/(sqrt(1 + 2x^4) - 1) =$
$ = lim_{x \to 0} frac{x^2 - x^4/3 -x^4/2 - x^2 - x^4/2}{x^4} = lim_{x \to 0} frac{- x^4/3 -x^4}{x^4} = - 1/3 - 1 = - 4/3 $
"cooper":
devi sviluppare tutto allo stesso ordine. quindi anche l'arcotangente va sviluppato ad ordini superiori. non c'è una ragione per sviluppare solo alcune cose fino ad un certo ordine ed altre no.
Ma io sviluppo tutto allo stesso ordine.
Comunque ragazzi, grazie davvero a tutti, ma ancora non capisco perché procedere con la stima asintotica dell'arctan(x) è sbagliato.
Su questo punto vorrei avere maggiore chiarezza poiché in passato ho risolto limiti usando la stima asintotica e sono sempre riusciti..semplice fortuna allora? Come mai invece in questo caso è sbagliato procedere con la stima asintotica?
"francicko":
Non vorrei sbagliarmi, ma a numeratore mi sembra che non è sufficiente l'uso degli asintotici , in quanto vengono coinvolti termini successivi al primo termine nello sviluppo in serie di Taylor..
Anche per questo limite qui:
$\lim _{x\to 0}((5^(1+tan^2x)-5)/(1-cosx))$
ho usato la stima asintotica per $tan^2(x)$ con $x^2$ e pur avendo sviluppi di Taylor superiori al al primo ordine (1-cosx) il limite mi esce corretto..
"rossiii":
Ma io sviluppo tutto allo stesso ordine.
non è vero. sviluppi il logaritmo e l'esponenziale fino a $o(x^4)$ mentre l'arcotangente solo al primo ordine. devi sviluppare anche questo fino a $o(x^4)$.
"rossiii":
ho usato la stima asintotica per tan2(x) con x2 e pur avendo sviluppi di Taylor superiori al al primo ordine (1-cosx) il limite mi esce corretto..
esce corretto perchè non perdi informazione con nessun altro infinitesimo dato che è l'unico. se anche sviluppassi di più sarebbero tutti un $o(x^2)$. se invece hai più pezzi che devi sviluppare se non sviluppi tutto allo stesso ordine per quello che non hai sviluppato perdi l'informazione sugli ordini che invece consideri con gli altri sviluppi.
Beh no, come ti ha già scritto correttamente cooper il secondo limite che hai proposto è diverso e si può risolvere coi limiti notevoli/sviluppi al primo ordine:
$ lim_{x\to 0}((5^(1+tan^2x)-5)/(1-cosx)) = 5 lim_{x\to 0}((5^(tan^2x)-1)/(1-cosx)) = 5 lim_{x\to 0}((5^(tan^2x)-1)/(tan^2 x) \cdot (tan^2 x)/x^2 \cdot x^2/(1-cosx)) = $
$ = 5 ln 5 \cdot 1 \cdot 2 = 10 ln 5 $
$ lim_{x\to 0}((5^(1+tan^2x)-5)/(1-cosx)) = 5 lim_{x\to 0}((5^(tan^2x)-1)/(1-cosx)) = 5 lim_{x\to 0}((5^(tan^2x)-1)/(tan^2 x) \cdot (tan^2 x)/x^2 \cdot x^2/(1-cosx)) = $
$ = 5 ln 5 \cdot 1 \cdot 2 = 10 ln 5 $
Va bene ho sicuramente afferrato il punto, grazie davvero a tutti ragazzi.
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