Aiuto con le equazioni differenziali?

[noemi_lameio]

Buonasera, avrei bisogno di un aiuto con le equazioni differenziali:
l'esercizio è il seguente:
Determina per quali valori di k l'equazione differenziale:
(k-1)y''+ky^2+y=y'

è lineare.

Mi potreste dire come si svolge e perché?
Grazie

[gugo82]

Com'è fatta una EDO lineare del secondo ordine?

[noemi_lameio]

"gugo82":Com'è fatta una EDO lineare del secondo ordine?

Non ho mai fatto le Equazioni differenziali del secondo ordine. ho visto la formula ma il y^2 mi fa venire dei dubbi.

[gugo82]

"mimi1216":[quote="gugo82"]Com'è fatta una EDO lineare del secondo ordine?

Non ho mai fatto le Equazioni differenziali del secondo ordine.[/quote]
E come mai ti metti a fare esercizi sulle EDO del secondo ordine se non le hai mai viste?

Vabbè, allora, quando è che una EDO qualsiasi viene detta lineare?

"mimi1216":[…] y^2 mi fa venire dei dubbi.

Beh, fai bene. È proprio lì il busillis.

[pilloeffe]

Ciao mimi1216,

Benvenuto/a sul forum!

"gugo82":
[quote="mimi1216"]
[…] y^2 mi fa venire dei dubbi.

Beh, fai bene. È proprio lì il busillis.[/quote]
Il termine che ti dà fastidio è proprio quello che va eliminato affinché l'equazione differenziale proposta sia lineare, ed in tal caso si ha:

$ -y'' + y = y' $

$ y'' + y' - y = 0 $

Quest'ultima equazione differenziale lineare del secondo ordine è piuttosto famosa perché la sua equazione caratteristica è la seguente:

$\lambda^2 + \lambda - 1 = 0 $

Tale equazione caratteristica ha per soluzioni $\lambda_1 = \frac{sqrt{5} - 1}{2} = \Phi $ e $\lambda_2 = - \frac{sqrt{5} + 1}{2} = - \varphi $
ove $\varphi $ è la sezione aurea e $\Phi $ il suo coniugato, che godono della notevole proprietà $\varphi \cdot \Phi = 1 $
Dunque la soluzione dell'equazione differenziale lineare del secondo ordine ottenuta è la seguente:

$ y(x) = c_1 e^{\Phi x} + c_2 e^{- \varphi x} $