Aiuto con integrali e col teorema degli zeri
Ciao a tutti, il professore del mio corso ha assegnato alcuni esercizi che ne io ne altri miei compagni di corso riusciamo a risolvere, spero che ci darete una mano 
Il primo esercizio riguarda il teorema degli zeri:
Facendo ricorso al teorema degli zeri si determini il numero delle soluzioni dell'equazione $x^3-3*x+3=0$
ora, col teorema degli zeri sappiamo che, preso un intervallo [a,b], se f(a)*f(b)<0 allora esiste un punto in cui la f(x)=0. Il problema però è che qui che intervalli si dovrebbero prendere? Ho provato ad usare quelli col massimo e col minimo ma comunque la funzione, con quegli estremi, risulta sempre >0. Se prendo come estremi -inf e +inf allora in quel caso otteniamo almeno una soluzione, ma noi non sappiamo se questa è magari una funzione oscillante da un certo punto in poi (non lo è, ma senza fare lo studio di funzione non si può sapere). Quindi, senza utilizzare l'intersezione con gli assi, è possibile determinare il numero di soluzioni di questa funzione col teorema degli zeri?
Il secondo esercizio riguarda la sommabilità (cosa che il professore ha spiegato malissimo) di una funzione e la sua primitiva:
Si consideri la funzione f(x)= $1 /sqrt(tanx)$
a) f è sommabile in ]0;$\pi$/2[ ?
b) Si determini una primitiva di f.
per quanto riguarda il punto a, non ho proprio idea di come si faccia la sommabilità, ho cercato qualcosa su internet ma non ci ho capito molto a livello pratico, per caso mi potreste far vedere almeno i passaggi di base?
per il punto b, ho iniziato l'integrale usando il metodo della sostituzione e ponendo la radice della tangente = t e poi utilizzando l'integrazione per parti... ma dopo mi sembra di arrivare ad un punto morto. Anche qui, se possibile, mi potreste far vedere qualche passaggio? Anche solo il risultato dell'integrale va bene.
Grazie mille in anticipo per le eventuali risposte
Il primo esercizio riguarda il teorema degli zeri:
Facendo ricorso al teorema degli zeri si determini il numero delle soluzioni dell'equazione $x^3-3*x+3=0$
ora, col teorema degli zeri sappiamo che, preso un intervallo [a,b], se f(a)*f(b)<0 allora esiste un punto in cui la f(x)=0. Il problema però è che qui che intervalli si dovrebbero prendere? Ho provato ad usare quelli col massimo e col minimo ma comunque la funzione, con quegli estremi, risulta sempre >0. Se prendo come estremi -inf e +inf allora in quel caso otteniamo almeno una soluzione, ma noi non sappiamo se questa è magari una funzione oscillante da un certo punto in poi (non lo è, ma senza fare lo studio di funzione non si può sapere). Quindi, senza utilizzare l'intersezione con gli assi, è possibile determinare il numero di soluzioni di questa funzione col teorema degli zeri?
Il secondo esercizio riguarda la sommabilità (cosa che il professore ha spiegato malissimo) di una funzione e la sua primitiva:
Si consideri la funzione f(x)= $1 /sqrt(tanx)$
a) f è sommabile in ]0;$\pi$/2[ ?
b) Si determini una primitiva di f.
per quanto riguarda il punto a, non ho proprio idea di come si faccia la sommabilità, ho cercato qualcosa su internet ma non ci ho capito molto a livello pratico, per caso mi potreste far vedere almeno i passaggi di base?
per il punto b, ho iniziato l'integrale usando il metodo della sostituzione e ponendo la radice della tangente = t e poi utilizzando l'integrazione per parti... ma dopo mi sembra di arrivare ad un punto morto. Anche qui, se possibile, mi potreste far vedere qualche passaggio? Anche solo il risultato dell'integrale va bene.
Grazie mille in anticipo per le eventuali risposte
Risposte
"Bruss92":
Ciao a tutti, il professore del mio corso ha assegnato alcuni esercizi che ne io ne altri miei compagni di corso riusciamo a risolvere, spero che ci darete una mano
Il primo esercizio riguarda il teorema degli zeri:
Facendo ricorso al teorema degli zeri si determini il numero delle soluzioni dell'equazione $x^3-3*x+3=0$
ora, col teorema degli zeri sappiamo che, preso un intervallo [a,b], se f(a)*f(b)<0 allora esiste un punto in cui la f(x)=0. Il problema però è che qui che intervalli si dovrebbero prendere? Ho provato ad usare quelli col massimo e col minimo ma comunque la funzione, con quegli estremi, risulta sempre >0. Se prendo come estremi -inf e +inf allora in quel caso otteniamo almeno una soluzione, ma noi non sappiamo se questa è magari una funzione oscillante da un certo punto in poi (non lo è, ma senza fare lo studio di funzione non si può sapere). Quindi, senza utilizzare l'intersezione con gli assi, è possibile determinare il numero di soluzioni di questa funzione col teorema degli zeri?
in questo caso ti basta osservare che la funzione è certamente continua in tutto $\RR$ , e che quando $x\to+\infty$ $ f(x)\to +infty$ e che quando $x\to-\infty$ $ f(x)\to -infty$ quindi sicuramente, poiche e continua, si deve annullare almento in un punto; poi considera l'equazione in questo modo:
\begin{align*}
x^3-3\cdot x =-3
\end{align*}
a primo menbro ha una cubica che assume un minimo relativo in $(1-,2)$ ed un massimo relativo in $(-1,2)$ e dunque quell'equazione ammentte solo una soluzione, poiche la retta $y=-3$ incontrerà la funzione in un sol punto
"Bruss92":
Il secondo esercizio riguarda la sommabilità (cosa che il professore ha spiegato malissimo) di una funzione e la sua primitiva:
Si consideri la funzione f(x)= $1 /sqrt(tanx)$
a) f è sommabile in ]0;$\pi$/2[ ?
b) Si determini una primitiva di f.
per quanto riguarda il punto a, non ho proprio idea di come si faccia la sommabilità, ho cercato qualcosa su internet ma non ci ho capito molto a livello pratico, per caso mi potreste far vedere almeno i passaggi di base?
per il punto b, ho iniziato l'integrale usando il metodo della sostituzione e ponendo la radice della tangente = t e poi utilizzando l'integrazione per parti... ma dopo mi sembra di arrivare ad un punto morto. Anche qui, se possibile, mi potreste far vedere qualche passaggio? Anche solo il risultato dell'integrale va bene.
Grazie mille in anticipo per le eventuali risposte
cominciamo dal punto 1: dire se è sommabile, significa chiedersi se è integrabile quella funzione li inell'intervallo $[0;\pi/2]$ ; la prima cosa da individuare è se la funzione inn quell'intervallo è continua, poichè sai che in tal caso la funzione è sicuramente integrabile; la fuznione
\begin{align*}
f(x):=\frac{1}{\sqrt{\tan x}}
\end{align*}
è definita quando
\begin{align*}
\begin{cases}\sqrt{\tan x}\ne 0\\ \tan x >0
\end{cases}\qquad \Rightarrow\qquad 0
e quindi come vedi nell'intervallo $[0;\pi/2]$ ha problemi agli estremi; tuttavia a te hanno chiesto l'integrabilità in $(0;\pi/2)$ e in tale intervallo la funzione è continua e quindi certamente integrabile; per vedere se è integrabile anche agli estremi dei considerare l'integrale in senso improprio ... ma non so se ci siete arrivati ...
per il punto 2: si fa prima una sostituzione ponendo $t=\tan x$ e ottieni una cosa del tipo:
\begin{align*}
\int \frac{1}{\sqrt{\tan x}}\,\,dx= \int \frac{1}{\sqrt{t}(t^2+1)}\,\,dt
\end{align*}
a questo punto sostistuisci nuovamente $\sqrt{t}=s$ e ottini una cosa del tipo:
\begin{align*}
\int \frac{1}{\sqrt{t}(t^2+1)}\,\,dt = 2 \int \frac{1}{s^4+1}\,\,ds
\end{align*}
e a questo punto devi usare il metodo dei fratti semplici ... che è un pò lungo!
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