Aiuto con integrale triplo
Salve, sto avendo non poche difficoltà nel calcolare un integrale triplo, anche abbastanza banale. E' il seguente
$ 3int int int_(U) dx dy dz $ L'esercizio mi dice: Sia $ Usub R^3 $ il dominio delimitato dal piano $ x+y+z=2 $ (definito anche dai punti degli assi $ (2,0,0) $ ; $ (0,2,0) $ ; $ (0,0,2) $ ) e piano definiti da $ x=0 y=0 z=0 $ .
E' la prima volta che mi trovo una superficie del genere, di solito mi da il piano e l'insieme di definizione delle 3 variabili. Ma in questo caso, non saprei cosa mettere come estremi di integrazione, per poi calcolare l'integrale sopra citato... Qualcuno mi potrebbe spiegare come svolgerlo, per favore?
$ 3int int int_(U) dx dy dz $ L'esercizio mi dice: Sia $ Usub R^3 $ il dominio delimitato dal piano $ x+y+z=2 $ (definito anche dai punti degli assi $ (2,0,0) $ ; $ (0,2,0) $ ; $ (0,0,2) $ ) e piano definiti da $ x=0 y=0 z=0 $ .
E' la prima volta che mi trovo una superficie del genere, di solito mi da il piano e l'insieme di definizione delle 3 variabili. Ma in questo caso, non saprei cosa mettere come estremi di integrazione, per poi calcolare l'integrale sopra citato... Qualcuno mi potrebbe spiegare come svolgerlo, per favore?
Risposte
@doppiozero
la proiezione del piano $x+y+z=2$ sul primo quadrante del piano $z=0$ è il triangolo di vertici $O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0)$
la retta passante per $(2,0)$ e $(0,2)$ ha equazione $y=-x+2$
quindi,bisogna calcolare
$ 3int_(0)^(2) dxint_(0)^(-x+2) dy int_(0)^(2-x-y) dz $
la proiezione del piano $x+y+z=2$ sul primo quadrante del piano $z=0$ è il triangolo di vertici $O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0)$
la retta passante per $(2,0)$ e $(0,2)$ ha equazione $y=-x+2$
quindi,bisogna calcolare
$ 3int_(0)^(2) dxint_(0)^(-x+2) dy int_(0)^(2-x-y) dz $
Ciao, anzitutto grazie ad entrambi, siete stati molto gentili e chiari. Ora mi sorge un dubbio, ieri stavo provando a svolgerlo da solo e... Sarebbe giusto fare cosi:
$ int int int_(U) 3 dx dy dz $ sostituisco la z, cancellando un integrale, parametrizzo con $ x=u ; y=v $ e diventa il seguente:
$ int int int_(U) 3 dx dy dz = int_(0)^(2) int_0^(2-u) 3(2-(u+v) dx dy $
In tal caso sto trasformando un integrale triplo in uno doppio, e secondo me poi sarebbe più facile calcolarne il risultato. Ma se è sbagliato, fa nulla. Di certo non mi stupirei in quanto cosi sembra fin troppo facile
$ int int int_(U) 3 dx dy dz $ sostituisco la z, cancellando un integrale, parametrizzo con $ x=u ; y=v $ e diventa il seguente:
$ int int int_(U) 3 dx dy dz = int_(0)^(2) int_0^(2-u) 3(2-(u+v) dx dy $
In tal caso sto trasformando un integrale triplo in uno doppio, e secondo me poi sarebbe più facile calcolarne il risultato. Ma se è sbagliato, fa nulla. Di certo non mi stupirei in quanto cosi sembra fin troppo facile
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo