Aiuto con integrale irrazionale
Buongiorno a tutti,
Questa volta il mio dubbio dovrebbe essere di semplice risoluzione.
Non riesco a capire che tipo di sostituzione si sia applicata qui.
Io credo sia una sostituzione di Eulero, però se fosse così non dovrebbe essere:
$sqrt(2x^2+3x-2) = sqrt(2)x+t -> 2x^2+3x-2 = (sqrt(2)x+t)^2 $ ?
Questa volta il mio dubbio dovrebbe essere di semplice risoluzione.
Non riesco a capire che tipo di sostituzione si sia applicata qui.
Io credo sia una sostituzione di Eulero, però se fosse così non dovrebbe essere:
$sqrt(2x^2+3x-2) = sqrt(2)x+t -> 2x^2+3x-2 = (sqrt(2)x+t)^2 $ ?
Risposte
Questo integrale è immediato se conosci le funzioni iperboliche. Basta completare il quadrato e usare questo integrale immediato
$\int \frac{dx}{sqrt(x^2-1}$ $=log(x+sqrt(x^2-1))+c$
$\int \frac{dx}{sqrt(x^2-1}$ $=log(x+sqrt(x^2-1))+c$
Grazie per aver risposto. Comunque si quello lo so! 
Però vorrei capire bene che strategia abbia usato il professore!
Però vorrei capire bene che strategia abbia usato il professore!
Ciao rossiii,
L'integrale proposto è il seguente:
$int frac{dx}{sqrt{2x^2 + 3x - 2}} = 1/sqrt{2} int frac{dx}{sqrt{x^2 + frac{3}{2}x - 1}} $
ove nel secondo integrale scritto $a = 1 $, $b = 3/2 $ e $c = - 1 \implies \Delta = b^2 - 4ac > 0 $
A questo punto si pone
$ sqrt{x^2 + frac{3}{2}x - 1} := x + t \implies x^2 + frac{3}{2}x - 1 = (x + t)^2 \implies 2x^2 + 3x - 2 = 2(x + t)^2 $
Detto questo poi non garantisco che i conti siano semplici: dai un'occhiata ad esempio qui
L'integrale proposto è il seguente:
$int frac{dx}{sqrt{2x^2 + 3x - 2}} = 1/sqrt{2} int frac{dx}{sqrt{x^2 + frac{3}{2}x - 1}} $
ove nel secondo integrale scritto $a = 1 $, $b = 3/2 $ e $c = - 1 \implies \Delta = b^2 - 4ac > 0 $
A questo punto si pone
$ sqrt{x^2 + frac{3}{2}x - 1} := x + t \implies x^2 + frac{3}{2}x - 1 = (x + t)^2 \implies 2x^2 + 3x - 2 = 2(x + t)^2 $
Detto questo poi non garantisco che i conti siano semplici: dai un'occhiata ad esempio qui
Grazie mille pilloeffe, molto chiaro, sempre cortese e disponibile!
Naturalmente con la sostituzione ottenuta mi conviene tornare a lavorare direttamente sul primo integrale, dico bene?
Naturalmente con la sostituzione ottenuta mi conviene tornare a lavorare direttamente sul primo integrale, dico bene?
"rossiii":
Grazie mille pilloeffe
Prego!
"rossiii":
Naturalmente con la sostituzione ottenuta mi conviene tornare a lavorare direttamente sul primo integrale, dico bene?
In realtà poi è indifferente, ma sì, farei così anch'io...
Quando il radicando è un polinomio di secondo grado $ax^2 + bx + c$ con $Delta < 0$ ed $a>0$, sono possibili (nel senso che razionalizzano l’integrale) cinque sostituzioni dovute ad Eulero, cioè:
\[
\begin{split}
\sqrt{ax^2 + bx + c} &= \sqrt{a}\ (t \pm x)\; ,\\
\sqrt{ax^2 + bx + c} &= t \pm \sqrt{a}\ x\; ,\\
\sqrt{ax^2 + bx + c} &= \sqrt{c} - tx\; ,
\end{split}
\]
con l’ultima valida perché le ipotesi poste sul segno di $a$ e $Delta$ implicano $c>0$.
\[
\begin{split}
\sqrt{ax^2 + bx + c} &= \sqrt{a}\ (t \pm x)\; ,\\
\sqrt{ax^2 + bx + c} &= t \pm \sqrt{a}\ x\; ,\\
\sqrt{ax^2 + bx + c} &= \sqrt{c} - tx\; ,
\end{split}
\]
con l’ultima valida perché le ipotesi poste sul segno di $a$ e $Delta$ implicano $c>0$.
"gugo82":
le ipotesi poste sul segno di $a $ e $\Delta $ implicano $ c > 0 $.
Occhio però perché nel caso in esame si ha $a > 0 $, $c < 0 $ e $\Delta = b^2 - 4ac > 0 $
Ah, davo per scontato che la sostituzione si usasse col $Delta $ negativo... Comunque, le prime quattro funzionano in ogni caso.
Inoltre, se $Delta, a>0$, si può usare anche:
\[
t= \sqrt{a\ \frac{x - x_1}{x - x_2}}
\]
in cui $x_1 < x_2$ sono le radici del radicando, o se $Delta>0, a<0$ si usa:
\[
t= \sqrt{(-a)\ \frac{x - x_1}{x_2 - x}}\; .
\]
Inoltre, se $Delta, a>0$, si può usare anche:
\[
t= \sqrt{a\ \frac{x - x_1}{x - x_2}}
\]
in cui $x_1 < x_2$ sono le radici del radicando, o se $Delta>0, a<0$ si usa:
\[
t= \sqrt{(-a)\ \frac{x - x_1}{x_2 - x}}\; .
\]
"gugo82":
Quando il radicando è un polinomio di secondo grado $ax^2 + bx + c$ con $Delta < 0$ ed $a>0$, sono possibili (nel senso che razionalizzano l’integrale) cinque sostituzioni dovute ad Eulero, cioè:
\[
\begin{split}
\sqrt{ax^2 + bx + c} &= \sqrt{a}\ (t \pm x)\; ,\\
\sqrt{ax^2 + bx + c} &= t \pm \sqrt{a}\ x\; ,\\
\sqrt{ax^2 + bx + c} &= \sqrt{c} - tx\; ,
\end{split}
\]
con l’ultima valida perché le ipotesi poste sul segno di $a$ e $Delta$ implicano $c>0$.
Mamma mia ma quante ne sono! Io ne conoscevo 3 di cui soltanto una ne ho riconosciuta in quelle scritte da voi!
Voglio chiederti:
Perchè dici 5 e ne conto 3?
Dove posso trovare tutte le sostituzioni di Eulero? Il mio libro ne tratta tre, e il caso con $\Delta < 0$ nemmeno lo studia, su internet non si trova nulla
Non ho capito se la prima si può applicare con $\Delta > 0$ o no. Se non fosse, quale sarebbe la formula per saltare i calcoli mostrati da pilloeffe?
Le prime due sono, in realtà, quattro (perché hai la possibilità di scegliere $+$ o $-$).
Oramai, però, passare a memoria queste formule è poco utile, data la presenza di solutori automatici... Quel che è importante è capire come e perché esse funzionano.
Oramai, però, passare a memoria queste formule è poco utile, data la presenza di solutori automatici... Quel che è importante è capire come e perché esse funzionano.
"gugo82":
Le prime due sono, in realtà, quattro (perché hai la possibilità di scegliere $+$ o $-$).
Ah ecco il trucco!
"gugo82":
Oramai, però, passare a memoria queste formule è poco utile, data la presenza di solutori automatici... Quel che è importante è capire come e perché esse funzionano.
Eh sarebbe bello dare Analisi1 con Wolfram ma non credo il professore acconsetirebbe.
Ho editato il post precedente, ma credo tu mi abbia risposto prima dell'edit, può darci un occhiata? Mi interessa sapere se la prima sostituzione da te postata $sqrt(ax^2+bx+c)=sqrt(a)(t+-x)$ (che mi sembra coincidere con quella adoperata dal professore nell'esercizio) si può usare anche con $\Delta > 0$
Sì, l’ho scritto sopra.
"gugo82":
Sì, l’ho scritto sopra.
Benissimo grazie mille davvero
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