Aiuto con integrale doppio

[vinceps]

l'integrale doppio è 1/(1+x^2 +y^2) dx dy e l'insieme d'integrazione è una circonferenza di raggio 2...
come faccio?
passando in coordinate polari mi viene una cosa strana perchè dovrei integrare ρ/1+ρ^2 dθ...?!? tra 0 e π/2

[Noisemaker]

e il centro della circonferenza qual è?

[vinceps]

nell'origine, (0,0)

[Noisemaker]

In realtà, l'integrale
\[\iint_D\frac{dx dy}{1+x^2+y^2},\qquad D:=\{(x;y)\in\mathbb{R}^2 : x^2+y^2\le4\},\]
è molto semplice se passi in coordinate polari, perchè posto
\begin{align}x&=\rho \cos\vartheta\\y&=\rho\sin \vartheta,\end{align}
hai immediatamente che $\rho\in[0;2]$ e $\vartheta\in[0;2\pi).$ Allora, ricordando il fattore di trasformazione, hai che l'integrale diventa:
\begin{align}
\iint_D\frac{dx dy}{1+x^2+y^2}=\int_{\rho=0}^{2}\left( \int_{\vartheta=0}^{2\pi} \frac{\rho}{1+\rho^2}d\vartheta\right)d\rho=\left(\int_{\rho=0}^{2} \frac{\rho}{1+\rho^2} \,\,d\rho\right)\left(\int_{\vartheta=0}^{2\pi} d\vartheta\right).
\end{align}

[vinceps]

si, io arrivo qua, e poi?

[Noisemaker]

e poi sono integrali di una variabile ...

[vinceps]

viene π(ln(5) ? mi sembra strano come risultato, che dici?

[vict85]

Cosa ci trovi di strano in \(\displaystyle \pi\ln 5 \) ?

[vinceps]

boh, non so, non mi sembrava giusto... quindi va bene così? perfetto!
mistero risolto!
grazie