Aiuto con integrale di superficie
potete dirmi come si risolve questo integrale?
$int int (yz)/(x^2+4y^2) ds$
dove S è la parte di superficie laterale del cono definita dalle disequazioni:
$y>=0$
$4z^2=x^2+4y^2$
$-2<=z<=0$
aiutatemi non so dove mettere le mani!!!!!
$int int (yz)/(x^2+4y^2) ds$
dove S è la parte di superficie laterale del cono definita dalle disequazioni:
$y>=0$
$4z^2=x^2+4y^2$
$-2<=z<=0$
aiutatemi non so dove mettere le mani!!!!!
Risposte
Allora...
$z = -\sqrt{\frac{x^2}{4} + y^2}$ (in virtù della limitazione su $z$)
$-\sqrt{\frac{x^2}{4} + y^2} \ge -2 \implies \frac{x^2}{4} + y^2 \ge 4$
Potresti considerare per la superficie una parametrizzazione $r: A \to S$ così definita
$r(u,v) = \{(x = u),(y = v),(z = -\sqrt{\frac{u^2}{4} + v^2} = f(u,v)):}$
e l'integrale diventa
$\int \int_A \frac{-v \sqrt{\frac{u^2}{4} + v^2}}{u^2 + 4 v^2} \sqrt{1 + ||\nabla f(u,v)||^2} dudv$
con
$A = \{(u,v) \in \mathbb{R}^2: \frac{u^2}{4} + v^2 \ge 4, v \ge 0\}$
È da secoli che non faccio integrali superficiali, spero di non averne sparate grosse.
$z = -\sqrt{\frac{x^2}{4} + y^2}$ (in virtù della limitazione su $z$)
$-\sqrt{\frac{x^2}{4} + y^2} \ge -2 \implies \frac{x^2}{4} + y^2 \ge 4$
Potresti considerare per la superficie una parametrizzazione $r: A \to S$ così definita
$r(u,v) = \{(x = u),(y = v),(z = -\sqrt{\frac{u^2}{4} + v^2} = f(u,v)):}$
e l'integrale diventa
$\int \int_A \frac{-v \sqrt{\frac{u^2}{4} + v^2}}{u^2 + 4 v^2} \sqrt{1 + ||\nabla f(u,v)||^2} dudv$
con
$A = \{(u,v) \in \mathbb{R}^2: \frac{u^2}{4} + v^2 \ge 4, v \ge 0\}$
È da secoli che non faccio integrali superficiali, spero di non averne sparate grosse.
"Tipper":
Allora...
$z = -\sqrt{\frac{x^2}{4} + y^2}$ (in virtù della limitazione su $z$)
$-\sqrt{\frac{x^2}{4} + y^2} \ge -2 \implies \frac{x^2}{4} + y^2 \ge 4$
Potresti considerare per la superficie una parametrizzazione $r: A \to S$ così definita
$r(u,v) = \{(x = u),(y = v),(z = -\sqrt{\frac{u^2}{4} + v^2} = f(u,v)):}$
e l'integrale diventa
$\int \int_A \frac{-v \sqrt{\frac{u^2}{4} + v^2}}{u^2 + 4 v^2} \sqrt{1 + ||\nabla f(u,v)||^2} dudv$
con
$A = \{(u,v) \in \mathbb{R}^2: \frac{u^2}{4} + v^2 \ge 4, v \ge 0\}$
È da secoli che non faccio integrali superficiali, spero di non averne sparate grosse.
dopo potrei usare le coordinate ellittiche per finire l'integrale....potresti dirmi poi come si fa?
Poni
$\{(u = 2 \rho \cos(\theta)),(v = \rho \sin(\theta)):}$
Dalla prima condizione si trova $\rho^2 \ge 4 \implies \rho \in [4, +\infty[$
Dalla seconda
$\rho \sin(\theta) \ge 0 \implies \sin(\theta) \ge 0 \implies \theta \in [0, \pi]$
Ti basta considerare che $dxdy = 2 \rho d \rho d \theta$ e ora puoi impostare l'integrale.
$\{(u = 2 \rho \cos(\theta)),(v = \rho \sin(\theta)):}$
Dalla prima condizione si trova $\rho^2 \ge 4 \implies \rho \in [4, +\infty[$
Dalla seconda
$\rho \sin(\theta) \ge 0 \implies \sin(\theta) \ge 0 \implies \theta \in [0, \pi]$
Ti basta considerare che $dxdy = 2 \rho d \rho d \theta$ e ora puoi impostare l'integrale.
"Tipper":
Poni
$\{(u = 2 \rho \cos(\theta)),(v = \rho \sin(\theta)):}$
Dalla prima condizione si trova $\rho^2 \ge 4 \implies \rho \in [4, +\infty[$
Dalla seconda
$\rho \sin(\theta) \ge 0 \implies \sin(\theta) \ge 0 \implies \theta \in [0, \pi]$
Ti basta considerare che $dxdy = 2 \rho d \rho d \theta$ e ora puoi impostare l'integrale.
dopo un po di calcoli vengo fuori con un un buon intergrale... solo che questa parte di integrale non la sò proprio risolvere:
$int sen(x)sqrt(3sen^2(x)+5) dx$ tra $0 e pi$
Prova a considerare che $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ e che il seno è la derivata del coseno.
"Tipper":
Prova a considerare che $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ e che il seno è la derivata del coseno.
non so proprio andare avanti mi aiuti???
$\int \sin(x) \sqrt{8 - 3 \cos^2(x)}dx$
Posto $\cos(x) = t$, $\sin(x) dx = - dt$ si ottiene
$-\int \sqrt{8 - 3 t^2}dt = -\int \sqrt{8} \sqrt{1 - \frac{3}{8} t^2}dt$
E ora sostituisci
$\sqrt{\frac{3}{8}} t = \sin(a)$
cosicché
$\sqrt{1 - \frac{3}{8} t^2} = \sqrt{1 - \sin^2(a)} = |\cos(a)|$
Posto $\cos(x) = t$, $\sin(x) dx = - dt$ si ottiene
$-\int \sqrt{8 - 3 t^2}dt = -\int \sqrt{8} \sqrt{1 - \frac{3}{8} t^2}dt$
E ora sostituisci
$\sqrt{\frac{3}{8}} t = \sin(a)$
cosicché
$\sqrt{1 - \frac{3}{8} t^2} = \sqrt{1 - \sin^2(a)} = |\cos(a)|$
Potrebbe essere che mi sbaglio ,ma io farei nel segunate modo:
innanzitutto eseguo il segunte cambio di variabile:
$t=2*y$ dunuqe $dy=t/2 *dt$. a questo punto trasformo l'equazione $4*z^2=x^2+4*y^2 => 4*z^2=x^2+t^2$ la quale mi sembra un'equazione nota.
A tal punto posso applicare le coordinate polari tenendo però presente che $rho=2*z$ raggio della circonferenza.
Dunque applicando tali trasformazioni abbiamo:
$\{(x=2z cos theta),(t=2z* sen theta):}.
Applicando passo passo le trasformazioni abbiamo prima:
$int int ((t/2 *z)/(x^2 + t^2) *t/2 dS)$$
e successivamente $int_-2^0 int_0^pi (((2z)^2 sen^2 theta)/4 *2*z^2)/((4z)^2 cos^2 theta + (4z)^2 sen^2 theta) d theta d z$ adesso si facendo qualche semplificazione immediata si arriva a :
$int_-2^0 int_0^pi ((z^2 sen^2 theta)/2) d theta d z$ il che mi sembra di facile risoluzione ..... ciao!!
innanzitutto eseguo il segunte cambio di variabile:
$t=2*y$ dunuqe $dy=t/2 *dt$. a questo punto trasformo l'equazione $4*z^2=x^2+4*y^2 => 4*z^2=x^2+t^2$ la quale mi sembra un'equazione nota.
A tal punto posso applicare le coordinate polari tenendo però presente che $rho=2*z$ raggio della circonferenza.
Dunque applicando tali trasformazioni abbiamo:
$\{(x=2z cos theta),(t=2z* sen theta):}.
Applicando passo passo le trasformazioni abbiamo prima:
$int int ((t/2 *z)/(x^2 + t^2) *t/2 dS)$$
e successivamente $int_-2^0 int_0^pi (((2z)^2 sen^2 theta)/4 *2*z^2)/((4z)^2 cos^2 theta + (4z)^2 sen^2 theta) d theta d z$ adesso si facendo qualche semplificazione immediata si arriva a :
$int_-2^0 int_0^pi ((z^2 sen^2 theta)/2) d theta d z$ il che mi sembra di facile risoluzione ..... ciao!!
"clrscr":
Potrebbe essere che mi sbaglio ,ma io farei nel segunate modo:
innanzitutto eseguo il segunte cambio di variabile:
$t=2*y$ dunuqe $dy=t/2 *dt$. a questo punto trasformo l'equazione $4*z^2=x^2+4*y^2 => 4*z^2=x^2+t^2$ la quale mi sembra un'equazione nota.
A tal punto posso applicare le coordinate polari tenendo però presente che $rho=2*z$ raggio della circonferenza.
Dunque applicando tali trasformazioni abbiamo:
$\{(x=2z cos theta),(t=2z* sen theta):}.
Applicando passo passo le trasformazioni abbiamo prima:
$int int ((t/2 *z)/(x^2 + t^2) *t/2 dS)$$
e successivamente $int_-2^0 int_0^pi (((2z)^2 sen^2 theta)/4 *2*z^2)/((4z)^2 cos^2 theta + (4z)^2 sen^2 theta) d theta d z$ adesso si facendo qualche semplificazione immediata si arriva a :
$int_-2^0 int_0^pi ((z^2 sen^2 theta)/2) d theta d z$ il che mi sembra di facile risoluzione ..... ciao!!
è impressionante.....io non riesco proprio a capire come fai a trovare queste semplificazioni che rendono il tutto banale....c'è un metodo?
come sei arrivato al fatto che $rho$ era uguale a 2z?
cmq non bisogna calcolarmo l'elemento infinitesimo di superfice $ds$???
l'elemento infinitesimo di superficie è: $2*z *d theta d z$
"clrscr":
l'elemento infinitesimo di superficie è: $2*z *d theta d z$
si è vero scusami non mi ero accorto.....cmq non hai risposto alla domanda di prima....come fai a trovare queste soluzioni cosi semplici? c'è un metodo o altro? io proprio non le vedo...e mi vado sempre a incartare in soluzioni che portano ma che sono estremamente difficili.
Guarda io in questi calcoli di superfici, oppure di volumi cerco sempre, per quanto possibile, di ricondurmi alle coordinate polari(anche perchè sono facili da ricordare). Innanzitutto si cerca di vedere se c'è qualche equazione che si può ricondurre a una circonferenza, in questo caso abbiamo $4z^2=x^2+4*y^2$ che come puoi vedere ha tutta l'aria di un'equazione di una circonferenza a parte qual 4*y che si può trasformare in una sola variabile con una semplice sostituzione, inoltre c'è anche il raggio che è 2*z.Qesto primo passo è fondamentale, poi disegnando l'intero dominio con questa sostituzione gli integrali vengono di conseguenza.
Pure io le prime volte ero avevo un po di difficoltà, poi però con un po di esercizio ci prendi un po la mano.Comunque degli esercizi che potrebbero aiutarti sono quelli di calcolo di volumi, in modo che lavori con tutte e tre le varibili, prendendo un po di dime.stichezza
Pure io le prime volte ero avevo un po di difficoltà, poi però con un po di esercizio ci prendi un po la mano.Comunque degli esercizi che potrebbero aiutarti sono quelli di calcolo di volumi, in modo che lavori con tutte e tre le varibili, prendendo un po di dime.stichezza
"clrscr":
Guarda io in questi calcoli di superfici, oppure di volumi cerco sempre, per quanto possibile, di ricondurmi alle coordinate polari(anche perchè sono facili da ricordare). Innanzitutto si cerca di vedere se c'è qualche equazione che si può ricondurre a una circonferenza, in questo caso abbiamo $4z^2=x^2+4*y^2$ che come puoi vedere ha tutta l'aria di un'equazione di una circonferenza a parte qual 4*y che si può trasformare in una sola variabile con una semplice sostituzione, inoltre c'è anche il raggio che è 2*z.Qesto primo passo è fondamentale, poi disegnando l'intero dominio con questa sostituzione gli integrali vengono di conseguenza.
Pure io le prime volte ero avevo un po di difficoltà, poi però con un po di esercizio ci prendi un po la mano.Comunque degli esercizi che potrebbero aiutarti sono quelli di calcolo di volumi, in modo che lavori con tutte e tre le varibili, prendendo un po di dime.stichezza
cmq nel metodo che hai usato tu e quello che mi ha proposto tipper i risultati sono diversi....quindi non so quale sia giusto.
È probabile che sia sbagliato il mio, sono arrugginito circa gli integrali superficiali...
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