Aiuto con integrale (ANALISI 1)

kenta88
Ciao ragazzi
io e alcuni miei amici abbiamo problemi con questo integrale!!! abbiamo provato di tutto!!!
Il metodo di sostituzione è inutile,
integrazione per parti pure,
abbiamo cercato di utilizzare delle formule di integrazione ma non siamo riusciti a sbloccarci!!! derive lo risolve automaticamente però non riusciamo a capire... se qualcuno di voi TESTE D'UOVO :-D (senza offesa neeee???! ;-) ) riuscisse a risolverlo il mio collega vi offrirà una cena;

$ int_{0}^{pi/2} cos(x)/(5+sin^2(x))dx$

e poi un dubbio $sin^2(x)$ è uguale a $(sin(x))^2$??

grazie in anticipo a chi lo risolve! :-)

Risposte
Lord K
Per il tuo dubbio la risposta è sì $sin^2(x)$ è uguale a $(sin(x))^2$...

Per il resto direi di provare con le sostituzioni tipo:

$sin(x) = (2*tg(x/2))/(1+tg^2(x/2))$ e $cos(x) = (1-tg^2(x/2))/(1+tg^2(x/2))$

imponendo poi $t=tg(x/2)$ l'integrale diventa:

$int_{0}^{1} 2/5*(1-t^2)/(5*(1+t^2)^2+2*t^2) dt

che dovrebbe essere più semplice...

kenta88
"Lord K":
Per il tuo dubbio la risposta è sì $sin^2(x)$ è uguale a $(sin(x))^2$...

Per il resto direi di provare con le sostituzioni tipo:

$sin(x) = (2*tg(x/2))/(1+tg^2(x/2))$ e $cos(x) = (1-tg^2(x/2))/(1+tg^2(x/2))$

imponendo poi $t=tg(x/2)$ l'integrale diventa:

$int_{0}^{1} 2/5*(1-t^2)/(5*(1+t^2)^2+2*t^2) dt

che dovrebbe essere più semplice...


scusami ma come hai fatto a fare sta cosa????

$sin(x) = (2*tg(x/2))/(1+tg^2(x/2))$ e $cos(x) = (1-tg^2(x/2))/(1+tg^2(x/2))$

cmq grazie mille davvero! :shock:

Lord K
Di nulla. Pensa che:

$sin(x) = 2sin(x/2)cos(x/2)$

e che:

$sin^2(x/2) + cos^2(x/2)=1$

quindi:

$sin(x) = 2sin(x/2)cos(x/2) / 1 = (2sin(x/2)cos(x/2)) /(sin^2(x/2) + cos^2(x/2))$

e dividendo per $cos^2(x/2)$ ottengo la prima. Per il coseno è lo stesso procedimento.

P.S. è un metodo standard per problemi simili tienilo a mente ;)

kenta88
grazie mille :D.... w le formule parametriche del seno e del coseno :DDDDD

ciaooo

kenta88
un ultima cosa, utilizzando la sostituzione come fai a risolvere dx????? x a quante è uguale se $t=tan(x/2)???

Lord K
$x = 2*arctg (t)$
$dx = 2/(1+t^2) dt$

Feliciano1
Per il fatto di risolvere dx ho appena espresso delle mie perplessità in un'altra discussione. Secondo me sarebbe più giusto dire che $intf(x)dx=intF(g(t))*g'(t)dt$ e quindi chiedersi $g'(t)$ a cosa è uguale.

Comunque PRATICAMENTE bisogna fare la derivata di $x=g(t)=2arctant$ (ricavata da $t=tan(x/2)$. Quindi semplicemente $g'(t)=2/(1+t^2)$

Un saluto

clrscr
E se io facessi la seguente sostituzione:
$t=senx => dt=senx dx$ da questo il nostro integrale diventa:
$int_0^1 1/5*1/(1+(t/sqrt(5))^2) dt= arctg(t/sqrt(5))|_0^1=arctg(1/sqrt(5))$.
Potrebbe andare???????

Lord K
E' il modo più veloce indubbiamente...

da notarsi però che:

$dt = cos(x) dx$

clrscr
"clrscr":
E se io facessi la seguente sostituzione:
$t=senx => dt=senx dx$ da questo il nostro integrale diventa:
$int_0^1 1/5*1/(1+(t/sqrt(5))^2) dt= arctg(t/sqrt(5))|_0^1=arctg(1/sqrt(5))$.
Potrebbe andare???????

Scusate l'errore!!!!!!!
$t=senx => dt=cosx dx$

SORRY!!!!!

Lord K
"Nessuno può evitare degli errori ogni tanto, ma solo il saggio ne prende consapevolezza"

Feliciano1
riepilogando DOVREBBE essere:
$int (cosx/(5+sin^2x))$ si pone $t=sinx$, $x=arcsint$, $g'(t)=1/((1-t^2)^(1/2))$. per quanto riguarda gli estremi se x varia da 0 a 90° t varia da 0 a 1.
L'integrale diventa quindi (tra 0 e 1) $int(((1-t^2)^(1/2))/(5+t^2))*1/((1-t^2)^(1/2))$
che è abbastanza immediato come integrale

$=1/5int(1/(1+t^2/5))=(5^(1/2))/5int((1/(5^(1/2)))/(1+(t/(5^(1/2)))^2))=((5^(1/2))/5)arctan(t/(5^(1/2)))$ che considerato tra 0 e 1 diventa $((5^(1/2))/5)arctan(1/(5^(1/2)))$

Derive mi conferma il risultato.

Un saluto

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