Aiuto con i limiti

[stefanorava]

Vorrei chiedervi una mano su alcuni limiti di successioni:

$\lim_{n \to \infty} n log { cos {1/n}}


$\lim_{n \to \infty} $(-n)^(2n+1)


vi ringrazio già da ora

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Admin: Esercizi sui limiti

[alberto861]

il secondo è facile: dato che l'esponente è sempre dispari e quindi hai $(-n)^{2n+1}=-(n)^{2n+1}$ e tende a meno infinito
per il primo limite "a occhio" il coseno va a $1$ come $1/n^2$ e quindi ti aspetti che il logaritmo avendo "zavorra lineare" intorno a $1$ vinca su $n$ perchè ha velocità quadratica che gli deriva dal coseno..tutto ciò deriva da Taylor: dato che $1/n$ va a zero hai $cos(1/n)=1-1/n^2+o(1/n^3)$ quindi $log(cos(1/n))=log(1-1/n^2+o(1/n^3))=-1/n^2+o(1/n^2)$ da cui $nlog(cos(1/n))=-1/n+n o(1/n^2)$ e pertanto tale limite tende a zero

[stefanorava]

grazie mille....sei stato gentilissimo!!!

il secondo ho sbagliato a scriverlo (ops ) $\lim_{n \to \infty} $(-n)^(1/(2n+1))

Ma c'è un modo per risolvere il primo senza Taylor (che non ho studiato)?

[alberto861]

dunque $nlog(cos(1/n))=log((1-1+cos(1/n))^n)=log((1-1+cos(1/n))^{1/(cos(1/n)-1) * ncos(1/n)-1})$ e dalle proprietà dei limiti notevoli(che poi derivano da taylor) l'argomento del logaritmo tende a $e^0$ e quindi il limite viene 0..per il secondo hai $(-n)^{1/(2n+1)}=(-1)^{1/(2n+1)} n^{1/(2n+1)}$ il secondo pezzo va a $1$ pwerchè limite notevole e il primo anche $(-1)^0=1$ quindi tale limite fa uno

[stefanorava]

grazie sei stato esaustivo

thanks