Aiuto con gli o-piccolo

[lozaio]

Ciao a tutti, mi ritrovo con un dubbio. Non riesco a mostrare se il seguente sia oun passaggio valido

$e^(-2x)(1-2(x-x_0)+o(2(x-x_0))=e^(-2x)-2(x-x_0)e^(-2x)+o(e^(-2x)*2(x-x_0))$ per $(x-x_0)->0$ ora il dubbio è sull'o-piccolo $o(e^(-2x)*2(x-x_0))=o(2(x-x_0))$?

Si no perché? Mi aiutereste per favore quell' x-x0 mi confonde! Vorrei capire la teoria oltre che il passaggio se è corretto o meno

[gugo82]

Usa la definizione per scrivere una dimostrazione… Prova.

[lozaio]

Lamia idea iniziale era stata:

Rinomino: $x-x_0=t$ per comodità.

l'opiccolo del post potrei riscriverlo come funzione di t per altra funzione di t, insomma: $o(f(t)*g(t))$

Inoltre per definizione/ipotesi posso dire che una funzione $h(t)$ nella classe $o(f(t)*g(t))$ deve rispettare:

$lim_(t->0) (h(t))/(f(t)*g(t))=0$

Volevo giocare in qualche modo con $lim_(t->0)(h(t))/g(t)$ poiché questa dovrebbe essere la tesi volendomi portare ad avere tutto $o(2t)=o(g(t))$

E moltiplicando e dividento per f(t): $lim_(t->0) (h(t))/(g(t)*f(t))*f(t)$ il primo fa zero come detto.

[gugo82]

Vuoi provare che $ o(e^(-2x)*2(x-x_0))=o(2(x-x_0)) $ intorno ad $x_0$, i.e. che $f(x) in o(e^(-2x)*2(x-x_0)) <=> f(x) in o(2(x-x_0))$.

Per definizione, $f(x) in o(e^(-2x)*2(x-x_0))$ se e solo se $lim_(x->x_0) (f(x))/(e^(-2x) 2(x-x_0))=0$; dunque $lim_(x->x_0) (f(x))/(2(x-x_0)) = lim_(x->x_0) (f(x))/(e^(-2x) 2(x-x_0)) * e^(-2x) = 0*e^(-2x_0)=0$, sicché $f(x) in o(2*(x-x_0))$.
Il viceversa è del tutto analogo.

[lozaio]

Mi sembra la stessa cosa di quello che avevo postato in effetti, sbaglio?

Grazie gugo per i tuoi aiuti

PS:ho editato una piccola parte sopra.