Aiuto con formula di Taylor

[Sk_Anonymous]

Ciao, volevo sapere una cosa che non ho capito bene. Quando devo fare lo sviluppo di McLaurin delle funzioni seno e coseno, non ho ben capito il grado con cui va elevato l'o-piccolo alla fine. Per esempio, faccio lo sviluppo del seno e scrivo:
$sin(x)=x-[x^3]/6 +(x^5)/(5!)+o(x^)$
Dentro l'o-piccolo, che grado ci devo scrivere? 5, 6, o qualcos'altro? Alcune volte vedo scritto 5, altre 6.... Grazie

[gugo82]

Sono entrambi sviluppi col resto nella forma di Peano e sono entrambi corretti... Prova ad indovinare perchè.

[Sk_Anonymous]

perchè quando la derivata n-esima di seno è seno o -seno si annulla, giusto?

[gugo82]

Esatto.

Detto meglio, i polinomi di Taylor centrati in [tex]$x_0=0$[/tex] del seno d'ordine [tex]$5$[/tex] e [tex]$6$[/tex] coincidono, e sono entrambi di grado [tex]$5$[/tex], perchè la derivata sesta di [tex]$\sin x$[/tex] si annulla in [tex]$0$[/tex] (e quindi il termine di grado [tex]$6$[/tex] "scompare").
Tuttavia, quando vai ad esprimere il resto nella forma di Peano (cioè con lo [tex]$\text{o}$[/tex]-piccolo), nel primo caso devi scrivere [tex]$\text{o}(x^5)$[/tex], mentre nel secondo caso [tex]$\text{o}(x^6)$[/tex].

[Sk_Anonymous]

ok, invece quando scrivo lo sviluppo di una funzione che non sia seno o coseno, a parte casi particolari, il grado della x che sta nell' "o piccolo" è pari al grado dell'ultimo monomio?

[gugo82]

Esatto.

Ma, come detto, anche nel caso del seno è così, solo che si fatica a vedere la cosa.

[Sk_Anonymous]

ciao, visto che con le funzioni goniometriche sono un pò arruginito, sai per caso qualche buon sito dove effettuare un ripasso di equazioni e disequazioni goniometriche? Su questo sito c'è qualcosa? Grazie mille, e scusa l'OT.

[gugo82]

Prova a cercare un po' qui; altrimenti puoi riprendere i tuoi libri delle superiori.