Aiuto con eq differenziale

[mathix1]

Ho bisogno di aiuto per risolvere la seguente equazione differenziale:

$\{(y''(t) -3y'(x) + 4y(x) = 0),(y(0)=1),(y'(0)=1):}$

questo è tutto ciò che sono riuscito a fare:

$\ lambda^2 - 3lambda + 4 = 0 $
$\ lambda_(1,2)= (3+- isqrt(7))/2$

soluzioni complesse, quindi la base è $e^(alphax)cosbetax, e^(alphax)sinbetax$ con $alpha=3/2, beta=sqrt(7)/2$

soluzione generale: $y(x) = c_1 e^(3/2x)cos(sqrt(7)/2)x + c_2e^(3/2x)sin(sqrt(7)/2)x$

non riesco a derivare y(x), qualcuno può aiutarmi a finire l'esercizio?

[D4lF4zZI0]

Scusa ma qual è il problema nel derivare? Applica la regola della derivata del prodotto di due funzioni per ogni addendo della soluzione e risolvi

[Gi81]

Dato che deve valere $y(0)=1$, si ha $1= c_1 $.
Dunque abbiamo (raccogliendo $e^(3/2 x)$ a fattor comune):
$y(x)= e^(3/2 x)*[cos( (sqrt7)/2 x ) +c_2 *sin((sqrt7)/2 x )]$

Per quanto riguarda la derivata, devi conoscere come si deriva il coseno, il seno e l'esponenziale,
e anche come si deriva un prodotto. Credo che tu sappia come si fa

[mathix1]

"D4lF4zZI0":Scusa ma qual è il problema nel derivare? Applica la regola della derivata del prodotto di due funzioni per ogni addendo della soluzione e risolvi

l'esercizio non mi usciva perché consideravo la x fuori dall'argomento del seno e coseno
grazie per le risposte

[D4lF4zZI0]

Azz errore gravissimo...cmq ora ti è chiaro?

[mathix1]

"D4lF4zZI0":Azz errore gravissimo...cmq ora ti è chiaro?

tutto chiaro, l'esercizio si trova con il risultato

[mathix1]

ne approfitto per chiedere aiuto anche con quest'altra equazione:

$\ y''(x) - y(x) = -x $

$lambda = +- 1$

$y_0(x) = c_1e^x + c_2e^(-x)$

ora devo calcolare $y_p(x) = c_1(x)y_1(x) + c_2(x)y_2(x) $
$\{( c_1^{\prime}(x)y_1(x) + c_2^{\prime}(x)y_2(x) = 0 ), ( c_1^{\prime}(x)y_1^{\prime}(x) + c_2^{\prime}(x)y_2^{\prime}(x) = f(x) ):} $

$\{( c_1^{\prime}(x)e^x + c_2^{\prime}(x)e^(-x) = 0 ), ( c_1^{\prime}(x)e^x + c_2^{\prime}(x)-e^(-x) = -x ):} $

svolgendo i calcoli mi ritrovo con:
$\{( c_1^{\prime}(x) = -x/2 e^(-x) ), ( c_2^{\prime}(x) = x/2 e^x ):} $

calcolo gli integrali (per parti):

$\{( c_1(x) = -1/2 int xe^(-x) dx ), ( c_2(x) = 1/2 int xe^x dx ):} $

$\{( c_1(x) = -e^x / 2 (x^2 / 2 - 1 ) ), ( c_2(x) = e^(-x) / 2 (x^2 / 2 + 1 ) ):} $

$\y_p(x)$ dovrebbe dare come risultato $\y_p(x) = x$ poiché la soluzione è $y(x) = c_1e^x + c_2e^(-x) +x $
potreste aiutarmi a capire dove sbaglio?

[D4lF4zZI0]

I tuoi calcoli non li ho controllati; però c'è una strada più veloce ed è questa: si cerca come soluzione particolare quella del tipo $ y_p(x)=ax+b $; ora, andando a sostituire nell'equazione differenziale assegnata, ottieni:
$ 0-ax-b=-x hArr { ( a=1 ),( b=0 ):}hArry_p(x)=x $

[mathix1]

"D4lF4zZI0":I tuoi calcoli non li ho controllati; però c'è una strada più veloce ed è questa: si cerca come soluzione particolare quella del tipo $ y_p(x)=ax+b $; ora, andando a sostituire nell'equazione differenziale assegnata, ottieni:
$ 0-ax-b=-x hArr { ( a=1 ),( b=0 ):}hArry_p(x)=x $

non ero a conoscenza di questo procedimento, è molto più semplice di quello che stavo seguendo io

grazie mille per l'aiuto

[D4lF4zZI0]

E' un metodo standard per la ricerca delle soluzioni particolari