Aiuto con due esercizi di analisi in 2 variabili

[spuma]

Ciao a tutti, ho dei problemi con due esercizi di analisi sulle funzioni in due variabili... potete darmi una mano?

1) $ ln((y-x)(x-2)) $

- dominio
$ (y-x)(x-2)>0 $
$ y>x $
$ x>2 $

- curve livello
sono iperboli, ma non so come trovarle (ho sempre avuto problemi con i logaritmi

- estremi liberi
grad f=0 viene il punto x=2 e y=2
La matrice Hessiana viene tutta nulla, quindi non so come classificare il punto

- max e min vincolati alla circonferenza C(2,2) e raggio 2
con moltiplicatori di lagrange vengono dei calcoli impegnativi, come procedo?

2) $ F(x,y) = f((2y)/x) $

- dominio
x diverso da 0

- gradiente
$ (-(2y)/x^2)*f'((2y)/x), (2/x)*f'((2y)/x) $

- punti critici
grad=0
considerando che la x è già esclusa dal dominio vuol dire che y=0 e qualunque x diverso da 0. è giusto?

-punti in cui definisce implicitamente una funzione del tipo y=h(x)
questo non so come fare

Spero che qualcuno possa aiutarmi... non ho aperto due discussioni, spero vada bene. grazie.

[Zero87]

"spuma":1) ln((y-x)(x-2))

- dominio
(y-x)(x-2)>0
y>x
x>2

Calmini con le conclusioni che quando ci sono di mezzo 2 variabili ci vogliono 100 occhi... come passare sul lungomare dalle mie parti in estate, ma questa è un'altra storia...

Comunque se prendi il punto $(-3,-4)$ esso è tale che non valgono né $y>x$ né $x>2$ tuttavia abbiamo $ln((-4+3)(-3-2))= ln((-1)(-5))=ln(5)$ che è definito!

Se non vuoi complicarti la vita (facendo il prodotto) devi comunque ricordare che
$(y-x)(x-2)>0$
vale quando i fattori sono tutti e 2 positivi ma anche quando sono tutti e due negativi - alle superiori si diceva "meno per meno fa più" -, quindi alla tua soluzione manca anche
$y per avere tutto il dominio.

"spuma":- curve livello
sono iperboli, ma non so come trovarle (ho sempre avuto problemi con i logaritmi

Io invece mi ci taglio con le curve di livello in generale, altrimenti avrei anche risposto a MaledettaAnalisiXD (se non è questo è un nick molto simile) che ha postato qualcosa riguardo alle curve di livello.
Curve di livello... passo parola...!

"spuma":- estremi liberi
grad f=0 viene il punto x=2 e y=2
La matrice Hessiana viene tutta nulla, quindi non so come classificare il punto

Non ho fatto i calcoli, ma se sono giusti il punto $(2,2)$ non dà problemi poiché non è compreso nel dominio (se $x=2$ l'argomento del logaritmo sarebbe nullo a prescindere dall'altro termine).

"spuma":- max e min vincolati alla circonferenza C(2,2) e raggio 2
con moltiplicatori di lagrange vengono dei calcoli impegnativi, come procedo?

Vale qualcosa di simile a quanto ho detto per le curve di livello: passo la palla anche in questo caso (così come per l'altro esercizio che devo assimilarlo meglio prima di rispondere).

Dimenticavo: vedo che è il tuo primo messaggio, perciò benvenuto/a al forum e buona permanenza.

[spuma]

Dunque per le curve di livello forse ho trovato la soluzione
$ ln(y-x)(x-2)=c $
$ (y-x)(x-2)=e^c $
$ xy-x^2-2y+2x=e^c $ quindi sono tutte iperboli... e le disegno un pò a caso

Il punto $ (2,2) $ che viene escluso dal dominio non ci avevo fatto caso, problema risolto direi

Per gli estremi vincolati attendiamo qualche esperto volenteroso di rispondere..

Intanto grazie per la risposta..