Aiuto con alcune serie
Ciao a tutti. Sto cercando di studiare il carattere della serie
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 + \tan ^2 \left( \frac{1}{n} \right)} - 1
\]
Potrebbe essere convergente, dato che
\[
\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{1+\tan ^ 2 \left( \frac{1}{n}\right)} - 1 = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{1+\tan ^ 2 (0)} - 1 = 0
\]
Da qui in poi però non so come procedere. Essendo la serie a termini positivi, ho provato con il criterio del confronto e del confronto asintotico. Ho anche provato con lo sviluppo di Taylor-Peano di $ \tan \frac{1}{n} $, ma senza successo.
Mi potete dare una mano, per favore?
EDIT: corretti errori nell'espressione
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 + \tan ^2 \left( \frac{1}{n} \right)} - 1
\]
Potrebbe essere convergente, dato che
\[
\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{1+\tan ^ 2 \left( \frac{1}{n}\right)} - 1 = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{1+\tan ^ 2 (0)} - 1 = 0
\]
Da qui in poi però non so come procedere. Essendo la serie a termini positivi, ho provato con il criterio del confronto e del confronto asintotico. Ho anche provato con lo sviluppo di Taylor-Peano di $ \tan \frac{1}{n} $, ma senza successo.
Mi potete dare una mano, per favore?
EDIT: corretti errori nell'espressione
Risposte
Ci sono un paio di errori di battitura nei tuoi conti: ogni tanto compare $x$ al posto di $n$ e sei passato al limite mantenendo il segno di limite quando mandi $1/n$ a $0$.
Occhio, la serie è a termini negativi e non a termini positivi come hai detto tu: infatti, risulta $1+\tan^2 \left(\frac{1}{n}\right)>1$ per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$.
Per quanto riguarda lo svolgimento, hai che:
$$\frac{1}{1+\tan^2 \left(\frac{1}{n}\right)}-1=-\frac{\tan^2 \left(\frac{1}{n}\right)}{1+\tan^2 \left(\frac{1}{n}\right)}$$
Suggerimento: quanto vale
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{\tan^2 \left(\frac{1}{n}\right)}{1+\tan^2 \left(\frac{1}{n}\right)}}{\frac{1}{n^2}} \ ?$$
Occhio, la serie è a termini negativi e non a termini positivi come hai detto tu: infatti, risulta $1+\tan^2 \left(\frac{1}{n}\right)>1$ per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$.
Per quanto riguarda lo svolgimento, hai che:
$$\frac{1}{1+\tan^2 \left(\frac{1}{n}\right)}-1=-\frac{\tan^2 \left(\frac{1}{n}\right)}{1+\tan^2 \left(\frac{1}{n}\right)}$$
Suggerimento: quanto vale
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{\tan^2 \left(\frac{1}{n}\right)}{1+\tan^2 \left(\frac{1}{n}\right)}}{\frac{1}{n^2}} \ ?$$
Ciao ncant,
In effetti la serie proposta converge ad un valore negativo...
Hai provato a fare il denominatore comune comprendendo il $- 1$ ed osservando che $tan(1/n) = sin(1/n)/cos(1/n) $ e che $ sin^2(1/n) + cos^2(1/n) = 1 $ ?
In effetti la serie proposta converge ad un valore negativo...
Hai provato a fare il denominatore comune comprendendo il $- 1$ ed osservando che $tan(1/n) = sin(1/n)/cos(1/n) $ e che $ sin^2(1/n) + cos^2(1/n) = 1 $ ?
Ringrazio tutti per i suggerimenti. Ho anche corretto gli errori di battitura del primo post che mi erano sfuggiti.
E niente, sono uno scemo](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
E niente, sono uno scemo
"Mephlip":
Suggerimento: quanto vale
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{\tan^2 \left(\frac{1}{n}\right)}{1+\tan^2 \left(\frac{1}{n}\right)}}{\frac{1}{n^2}} \ ?$$
Dunque posso usare il teorema del confronto asintotico, dato che ho ottenuto una serie a termini positivi?
Puoi usare il confronto asintotico, ma devi avere delle piccole accortezze. Scrivici per bene il procedimento che adotteresti e vediamo insieme se è corretto o meno.
"ncant":
Ringrazio tutti per i suggerimenti.
Prego.
"ncant":
E niente, sono uno scemo
Non dire così, probabilmente sono le prime serie che fai, vedrai che col tempo e con l'esercizio diventerai più bravo...
Comunque giustifico il fatto che ho scritto che la serie converge ad un valore negativo. Infatti dopo i passaggi suggeriti la serie proposta diventa semplicemente la seguente:
$- \sum_{n = 1}^{+\infty} sin^2(1/n) $
Ora dato che si ha $0 < sin^2(1/n) < 1/n^2 $ allora si ha:
$0 < \sum_{n = 1}^{+\infty} sin^2(1/n) < \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = \pi^2/6 $
Sicché si ha:
$ - \pi^2/6 < - \sum_{n = 1}^{+\infty} sin^2(1/n) < 0 $
"Mephlip":
Puoi usare il confronto asintotico, ma devi avere delle piccole accortezze. Scrivici per bene il procedimento che adotteresti e vediamo insieme se è corretto o meno.
Dunque:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+\tan^2 \left( \frac{1}{n}\right)} - 1 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 - 1 \left( 1+\tan^2 \left( \frac{1}{n}\right)\right)}{1+\tan^2 \left( \frac{1}{n}\right)} = \sum_{n=1}^{\infty} - \frac{\tan^2 \left( \frac{1}{n} \right)}{1+\tan^2 \left( \frac{1}{n}\right)}
\]
Testiamo la divergenza:
\[
\lim_{n \to +\infty} a_n = \lim_{n \to +\infty} - \frac{\tan^2 \left( \frac{1}{n} \right)}{1+\tan^2 \left( \frac{1}{n}\right)} = 0
\]
dunque potrebbe convergere.
Provo:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} - \frac{\frac{\sin^2 \frac{1}{n}}{\cos^2 \frac{1}{n}}}{1+\frac{\sin^2 \frac{1}{n}}{\cos^2 \frac{1}{n}}} = \sum_{n=1}^{\infty} - \frac{\frac{\sin^2 \frac{1}{n}}{\cos^2 \frac{1}{n}}}{\frac{\cos^2 \frac{1}{n} + \sin^2 \frac{1}{n}}{\cos^2 \frac{1}{n}}} = \sum_{n=1}^{\infty} - \frac{\sin^2 \frac{1}{n}}{\cos^2 \frac{1}{n}} \times \cos^2 \frac{1}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} - \sin^2 \frac{1}{n} = - \sum_{n=1}^{\infty} \sin^2 \frac{1}{n}
\]
Siccome
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \sin^2 \frac{1}{n} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
\]
e dato che $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $ converge, per il criterio del confronto anche la serie in esame converge.
Sì, va bene, è quello che ho scritto nel mio ultimo post. In realtà ho aggiunto qualcosa in più, cioè che la somma della serie è $S \in (- \pi^2/6, 0) $, ma se ti basta sapere che converge allora sei a posto...
"ncant":
Grazie mille!
Prego!
"ncant":
Giusto?
Sì.
Vedo che il tuo professore insiste parecchio con le serie con la tangente, quindi magari ti può interessare anche questo vecchio thread.
Grazie mille a tutti per l'aiuto fin'ora 
.
Passando ad altri esempi. Nel caso delle serie $ \sum_{n=1}^{\infty} \tan \left( \frac{1}{n} \right)$ e $ \sum_{n=1}^{\infty} \tan \left( \frac{1}{n^2+1}\right) $ il testo mi suggerisce di usare lo sviluppo di Taylor-Peano di $ \tan $.
Per la prima serie lo sviluppo al primo grado e ottengo:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \tan \left( \frac{1}{n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} + o \left( \frac{1}{n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} + \sum_{n=1}^{\infty} o \left( \frac{1}{n} \right)
\]
la serie diverge in quanto sappiamo che $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $ diverge. è giusto?
.Passando ad altri esempi. Nel caso delle serie $ \sum_{n=1}^{\infty} \tan \left( \frac{1}{n} \right)$ e $ \sum_{n=1}^{\infty} \tan \left( \frac{1}{n^2+1}\right) $ il testo mi suggerisce di usare lo sviluppo di Taylor-Peano di $ \tan $.
Per la prima serie lo sviluppo al primo grado e ottengo:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \tan \left( \frac{1}{n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} + o \left( \frac{1}{n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} + \sum_{n=1}^{\infty} o \left( \frac{1}{n} \right)
\]
la serie diverge in quanto sappiamo che $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $ diverge. è giusto?
Sì, ma faresti molto prima col confronto asintotico nel caso della prima serie, anche col confronto semplice nel caso della seconda:
[tex]\sum_{n = 1}^{+\infty} \tan\bigg(\frac{1}{n}\bigg) \sim \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n}[/tex]
$\sum_{n = 1}^{+\infty} tan(\frac{1}{n^2 + 1}) < \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \pi^2/6 $
[tex]\sum_{n = 1}^{+\infty} \tan\bigg(\frac{1}{n}\bigg) \sim \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n}[/tex]
$\sum_{n = 1}^{+\infty} tan(\frac{1}{n^2 + 1}) < \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \pi^2/6 $
Ok!
Nel caso invece di $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\cos \frac{1}{n}} - 1 $ risulta:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\cos \frac{1}{n}} - 1 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 - \cos \frac{1}{n}}{\cos \frac{1}{n}}
\]
\[
\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1 - \cos \frac{1}{n}}{\cos \frac{1}{n}}}{\frac{1}{n^2}} = \frac{0}{0}
\]
Rimedio con de l'Hopital. Prima però mi accorgo che:
\[
\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1 - \cos \frac{1}{n}}{\cos \frac{1}{n}}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{\cos \frac{1}{n}} - 1}{\frac{1}{n^2}}
\]
\[
\lim_{n \to +\infty} \frac{- \frac{\sin \frac{1}{n}}{n^2 \times \cos \left( \frac{1}{n}\right)^2}}{- \frac{2}{n^3}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\sin \left( \frac{1}{n} \right) \times n}{2 \cos \left( \frac{1}{n}\right)^2}
\]
Analizzo numeratore e denominatore separamente. Per il numeratore pongo $ t = \frac{1}{n} $ e con l'aiuto dei limiti notevoli risulta $ \lim_{n \to +\infty} \frac{\sin t}{t} = 1 $, mentre per il denominatore ottengo $ \lim_{n \to +\infty} 2 \cos \left( \frac{1}{n}\right)^2 = 2 $. Pertanto $ \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1 - \cos \frac{1}{n}}{\cos \frac{1}{n}}}{\frac{1}{n^2}} = \frac{1}{2} $.
La serie in esame è convergente.
Esiste un modo più semplice per stabilirne il carattere?
Nel caso invece di $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\cos \frac{1}{n}} - 1 $ risulta:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\cos \frac{1}{n}} - 1 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 - \cos \frac{1}{n}}{\cos \frac{1}{n}}
\]
\[
\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1 - \cos \frac{1}{n}}{\cos \frac{1}{n}}}{\frac{1}{n^2}} = \frac{0}{0}
\]
Rimedio con de l'Hopital. Prima però mi accorgo che:
\[
\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1 - \cos \frac{1}{n}}{\cos \frac{1}{n}}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{\cos \frac{1}{n}} - 1}{\frac{1}{n^2}}
\]
\[
\lim_{n \to +\infty} \frac{- \frac{\sin \frac{1}{n}}{n^2 \times \cos \left( \frac{1}{n}\right)^2}}{- \frac{2}{n^3}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\sin \left( \frac{1}{n} \right) \times n}{2 \cos \left( \frac{1}{n}\right)^2}
\]
Analizzo numeratore e denominatore separamente. Per il numeratore pongo $ t = \frac{1}{n} $ e con l'aiuto dei limiti notevoli risulta $ \lim_{n \to +\infty} \frac{\sin t}{t} = 1 $, mentre per il denominatore ottengo $ \lim_{n \to +\infty} 2 \cos \left( \frac{1}{n}\right)^2 = 2 $. Pertanto $ \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1 - \cos \frac{1}{n}}{\cos \frac{1}{n}}}{\frac{1}{n^2}} = \frac{1}{2} $.
La serie in esame è convergente.
Esiste un modo più semplice per stabilirne il carattere?
"ncant":
Esiste un modo più semplice per stabilirne il carattere?
Sì.
Innanzitutto si ha:
$\lim_{n \to +\infty} [1/cos(1/n) - 1] = 1 - 1 = 0 $
quindi la serie proposta può convergere. Usando il fatto che $cos(1/n) > 1/2 \implies 1/cos(1/n) < 2 $ per ogni $n \in \NN $ e facendo uso della nota disuguaglianza $1- cos t \le t^2/2 $ con $t = 1/n $ si ha:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} (1 - cos(1/n))/cos(1/n) \le \sum_{n = 1}^{+\infty} 2 (1/n)^2/2 = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \pi^2/6 $
Riprendiamo il tour de force...
Ringrazio tutti coloro che mi stanno aiutando fino ad ora. Non so come avrei fatto senza di voi.
Per la serie a termini positivi
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \log \left( \frac{n+2}{n+4}\right)
\]
posso procedere in questo modo:
\[
\log \left( \frac{n+2}{n+4}\right) \sim \frac{n+2}{n+4} - 1 = \frac{-2}{n+4} \sim - \frac{1}{n}
\]
(Ho è sfruttato il limite notevole $ \log \left( 1 + \varepsilon (x) \right) ~ \varepsilon (x)$ per $ \varepsilon(x) \to 0 $). Dunque la serie diverge negativamente.
Fatto bene?
Ringrazio tutti coloro che mi stanno aiutando fino ad ora. Non so come avrei fatto senza di voi.
Per la serie a termini positivi
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \log \left( \frac{n+2}{n+4}\right)
\]
posso procedere in questo modo:
\[
\log \left( \frac{n+2}{n+4}\right) \sim \frac{n+2}{n+4} - 1 = \frac{-2}{n+4} \sim - \frac{1}{n}
\]
(Ho è sfruttato il limite notevole $ \log \left( 1 + \varepsilon (x) \right) ~ \varepsilon (x)$ per $ \varepsilon(x) \to 0 $). Dunque la serie diverge negativamente.
Fatto bene?
Sì, va bene, ma scrivi cose che contradditorie: prima scrivi che è a termini positivi e poi che diverge negativamente. Le due non possono coesistere. Inizia a rileggere con attenzione quello che scrivi, altrimenti agli esami rischi di perdere punti per queste motivazioni e non per gli svolgimenti in sé.
ncant, questo post è già abbastanza lungo: per le prossime serie (se non cancelli questa e la scrivi su un nuovo post, in tal caso io cancellerò questo post... ) sarebbe di gran lunga preferibile che tu aprissi un nuovo post, dal titolo per esempio $\sum_{n=1}^{\infty} \log(\frac{n+2}{n + 4}) $
Ti confermo che la serie proposta non è a termini positivi, infatti si ha $\sum_{n=1}^{\infty} \log(\frac{n+2}{n + 4}) = \sum_{n=1}^{\infty} \log(\frac{n+2 + 2 - 2}{n + 4}) = \sum_{n=1}^{\infty} \log(\frac{n + 4 - 2}{n + 4}) = \sum_{n=1}^{\infty} \log(1 - \frac{2}{n + 4}) $
ed il logaritmo di un numero minore di $1$ è sempre negativo e diverge a $-\infty $
) sarebbe di gran lunga preferibile che tu aprissi un nuovo post, dal titolo per esempio $\sum_{n=1}^{\infty} \log(\frac{n+2}{n + 4}) $Ti confermo che la serie proposta non è a termini positivi, infatti si ha $\sum_{n=1}^{\infty} \log(\frac{n+2}{n + 4}) = \sum_{n=1}^{\infty} \log(\frac{n+2 + 2 - 2}{n + 4}) = \sum_{n=1}^{\infty} \log(\frac{n + 4 - 2}{n + 4}) = \sum_{n=1}^{\infty} \log(1 - \frac{2}{n + 4}) $
ed il logaritmo di un numero minore di $1$ è sempre negativo e diverge a $-\infty $
"pilloeffe":.
ncant, questo post è già abbastanza lungo: per le prossime serie (se non cancelli questa e la scrivi su un nuovo post, in tal caso io cancellerò questo post...
Hai pienamente ragione. La chiudo qui.
"Mephlip":
Sì, va bene, ma scrivi cose che contradditorie: prima scrivi che è a termini positivi e poi che diverge negativamente. Le due non possono coesistere.
Posso spiegare, e qui la faccenda si fà strana. La consegna dice: "Stabilire se le seguenti serie a termini positivi convergono o divergono, precisando il criterio utilizzato" (Analisi Matematica 1 della Zanichelli, pag. 244). Per questo non mi sono fatto domande e l'ho scritta in quel modo. Ѐ una trappola?
"ncant":
Ѐ una trappola?
Forse sì, o semplicemente vuole che si verifichi se l'affermazione "la serie è a termini positivi" è vera o falsa...
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