Aiuto compito analisi
salve a tutti, non riesco a risolvere alcuni esercizi che fanno parte del compito di analisi 1
mi potreste aiutare?
nella foto ci sono tutti gli esercizi che non riesco a fare, quelli che so fare non li ho fotografati.
chiedo scusa ma non riesco a scrivere le formule e quindi metto un'immagine
mi potreste aiutare?
nella foto ci sono tutti gli esercizi che non riesco a fare, quelli che so fare non li ho fotografati.
chiedo scusa ma non riesco a scrivere le formule e quindi metto un'immagine
Risposte
Ciao ... credo che prima che qualcuno ti risponda devi provare a scrivere i tuoi tentativi e per scrivere tutte le formule che vuoi qui è spiegato come fare
come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
ok, iniziamo per esempio dall'ultimo esercizio. faccio un cambio di variabile e scrivo x= z^3 quindi diventa un' equazione di terzo grado, ma poi come devo continuare?
Veramente diventa un'equazione di secondo grado ù_ù
si ho sbagliato a scrivere intendevo di secondo grado. però non so bene come comportarmi con i numeri complessi nella risoluzione dell'equazione
Scusate se mi intrometto, ma riguardo gli integrali il secondo è quasi banale, basta adoperare la risoluzione per parti e lo ottieni, quello fratto devi adoperare la procedura specifica. Se googli la trovi subito.
"manny88":
si ho sbagliato a scrivere intendevo di secondo grado. però non so bene come comportarmi con i numeri complessi nella risoluzione dell'equazione
Risolvi l'equazione di secondo grado con l'usuale formula e poi ti calcoli le radici terze delle due soluzioni che ti escono tenendo conto che sei nel campo dei complessi.
Ciao. Aggiungerei una considerazione: una volta che risolvi l'equazione di secondo grado in $x=z^3$ e trovi $z^3=1 vee z^3=-3$, puoi anche evitare di lavorare con notazioni trigonometriche/esponenziali/algebriche dei numeri complessi semplicemente sfruttando la possibilità di scomposizione di una somma/differenza di cubi e quindi la legge di annullamento del prodotto. Per esempio, la $z^3=1$ diventa:
$z^3-1=0 rightarrow (z-1)(z^2+z+1)=0 \Rightarrow z=1 vee z^2+z+1=0$ eccetera. Analogamente per l'altra.
$z^3-1=0 rightarrow (z-1)(z^2+z+1)=0 \Rightarrow z=1 vee z^2+z+1=0$ eccetera. Analogamente per l'altra.
qui scrivo tutto quello che ho fatto:
$z^6+z^3-3=0$
$x=z^3$
$x^2+2x-3=0$
soluzioni $x=-3$ e $x=1$
mettiamo che lo voglio fare nel modo classico col la scrittura trigonometrica,
dal momento che $z=x+iy$ e che $y=r sen\vartheta$
io ho una soluzione dell'equazione con la sola parte reale, quindi ho considerato che il $sen\vartheta=0$
e che quindi sono nella condizione che non ho un angolo e quindi sono sull'asse.
ora vado a trovare le varie soluzioni scrivendo $n\vartheta=\varphi+2k\pi$
il primo $\vartheta=0$ con $k=0$
quindi
$z=root(3)(x)$
$z_1=e^0=1$
il secondo $\vartheta=0+2\pi=2\pi$ con $k=1$
$z_2=e^(2/3\pi)$
il terzo $\vartheta=0+4\pi=4pi$ con $k=2$
$z_3=e^(4/3\pi)$
le prime tre soluzioni vanno bene oppure ho sbagliato?
$z^6+z^3-3=0$
$x=z^3$
$x^2+2x-3=0$
soluzioni $x=-3$ e $x=1$
mettiamo che lo voglio fare nel modo classico col la scrittura trigonometrica,
dal momento che $z=x+iy$ e che $y=r sen\vartheta$
io ho una soluzione dell'equazione con la sola parte reale, quindi ho considerato che il $sen\vartheta=0$
e che quindi sono nella condizione che non ho un angolo e quindi sono sull'asse.
ora vado a trovare le varie soluzioni scrivendo $n\vartheta=\varphi+2k\pi$
il primo $\vartheta=0$ con $k=0$
quindi
$z=root(3)(x)$
$z_1=e^0=1$
il secondo $\vartheta=0+2\pi=2\pi$ con $k=1$
$z_2=e^(2/3\pi)$
il terzo $\vartheta=0+4\pi=4pi$ con $k=2$
$z_3=e^(4/3\pi)$
le prime tre soluzioni vanno bene oppure ho sbagliato?
Sono giuste
Ciao. Hai dimenticato una $i$ nell'esponente, le soluzioni sono $z_1=1$ , $z_2=e^(2/3 pi i)$ , $z_3=e^(4/3 pi i)$ .
Se posso solo permettermi un consiglio, evita di usare lo stesso simbolo con significati diversi: nello svolgimento hai indicato prima $x=z^3$ e poi lo stesso simbolo $x$ è diventato la parte reale di $z$, è meglio evitare per non incorrere in equivoci.
Se posso solo permettermi un consiglio, evita di usare lo stesso simbolo con significati diversi: nello svolgimento hai indicato prima $x=z^3$ e poi lo stesso simbolo $x$ è diventato la parte reale di $z$, è meglio evitare per non incorrere in equivoci.
grazie a tutti per l'aiuto e i consigli,
ho ancora un dubbio, se in generale un numero complesso è della forma $z=x+iy$ e che $z=r(cos\vartheta+isen\vartheta)$
per scrivere la forma esponenziale dovrei risalire all'angolo,
quindi dovrei dividere z per il suo modulo e poi fare l'inverso del coseno o del seno per la relativa parte del numero complesso,
lo scrivo in formule
$z=r(cos\vartheta+isen\vartheta)$ e divido per il modulo r
$z/r=(cos\vartheta+isen\vartheta)$
quindi se separo la parte reale da quella immaginaria otterrei:
$z=x+iy$ ; la parte reale sarà data da $x/r=cos\vartheta$ e la parte immaginaria $y/r=sen\vartheta$
quindi se scelgo indistintamente la parte reale o quella immaginaria facendo la funzione inversa del coseno o del seno avrei l'angolo.
scelgo la parte reale quindi avrei:
$vartheta=cos^(-1) x/r$
giusto?
quindi le altre soluzioni le trovo come $n\vartheta=\vartheta+2k\pi$
se applico questo metodo all'esercizio ottengo che per la soluzione dell'equazione di secondo grado $f_1=-3$
modulo $|f_1|=sqrt(-3^2)=3$
$vartheta= -3/3=-1$
$cos^(-1)vartheta=180=pi$ però posso anche considerare che $cos(-alpha)=+ cos (alpha)$
$cos^(-1)-1=180=pi$ , cambiando segno $cos^(-1)+1=0$ quale è quello corretto da considerare?
nel caso di $vartheta=0$ ottengo come soluzioni dell'esercizio:
$z_1=e^0=1$
$z_2=e^(i2/3pi)$
$z_3=e^(i4/3pi)$
nel caso di $vartheta=pi$ ottengo come soluzioni dell'esercizio:
$z_1=e^(i1/3pi)$
$z_2=e^(ipi)$
$z_3=e^(i5/3pi)$
poi troviamo le altre soluzioni $f_2=1$
ottengo $vartheta=1$
quindi
$cos^(-1)+1=0$
con $vartheta=0$ ottengo come soluzioni dell'esercizio:
$z_4=e^(i8/3pi)$
$z_5=e^(i10/3pi)$
$z_6=e^(i12/3pi)$
mi sa che qualcosa non va...
ho ancora un dubbio, se in generale un numero complesso è della forma $z=x+iy$ e che $z=r(cos\vartheta+isen\vartheta)$
per scrivere la forma esponenziale dovrei risalire all'angolo,
quindi dovrei dividere z per il suo modulo e poi fare l'inverso del coseno o del seno per la relativa parte del numero complesso,
lo scrivo in formule
$z=r(cos\vartheta+isen\vartheta)$ e divido per il modulo r
$z/r=(cos\vartheta+isen\vartheta)$
quindi se separo la parte reale da quella immaginaria otterrei:
$z=x+iy$ ; la parte reale sarà data da $x/r=cos\vartheta$ e la parte immaginaria $y/r=sen\vartheta$
quindi se scelgo indistintamente la parte reale o quella immaginaria facendo la funzione inversa del coseno o del seno avrei l'angolo.
scelgo la parte reale quindi avrei:
$vartheta=cos^(-1) x/r$
giusto?
quindi le altre soluzioni le trovo come $n\vartheta=\vartheta+2k\pi$
se applico questo metodo all'esercizio ottengo che per la soluzione dell'equazione di secondo grado $f_1=-3$
modulo $|f_1|=sqrt(-3^2)=3$
$vartheta= -3/3=-1$
$cos^(-1)vartheta=180=pi$ però posso anche considerare che $cos(-alpha)=+ cos (alpha)$
$cos^(-1)-1=180=pi$ , cambiando segno $cos^(-1)+1=0$ quale è quello corretto da considerare?
nel caso di $vartheta=0$ ottengo come soluzioni dell'esercizio:
$z_1=e^0=1$
$z_2=e^(i2/3pi)$
$z_3=e^(i4/3pi)$
nel caso di $vartheta=pi$ ottengo come soluzioni dell'esercizio:
$z_1=e^(i1/3pi)$
$z_2=e^(ipi)$
$z_3=e^(i5/3pi)$
poi troviamo le altre soluzioni $f_2=1$
ottengo $vartheta=1$
quindi
$cos^(-1)+1=0$
con $vartheta=0$ ottengo come soluzioni dell'esercizio:
$z_4=e^(i8/3pi)$
$z_5=e^(i10/3pi)$
$z_6=e^(i12/3pi)$
mi sa che qualcosa non va...
Ciao. Sembra anche a me che qualcosa non vada...
Da: $z^3=-3$ ponendo $z=r(cos theta + i sin theta)$ hai prima di tutto: $r^3=3$__$rightarrow$__[tex]r=\sqrt[3]{3}[/tex];
quindi usando la formula di De Moivre $z^n=r^n(cos n theta+i sin n theta)$ ottieni: $z^3=3(cos 3theta+i sin 3 theta)$, che uguagliato a $-3$ ti fornisce:
$cos 3theta=-1$ e $sin 3theta=0$,
da cui: $3theta=pi + 2k pi$; ricavi $theta$ e sostituisci per $k$ tutti i possibili valori ($0$, $1$ e $2$) che fanno rientrare $theta$ nell'intervallo $[0, 2 pi"["$.
Da: $z^3=-3$ ponendo $z=r(cos theta + i sin theta)$ hai prima di tutto: $r^3=3$__$rightarrow$__[tex]r=\sqrt[3]{3}[/tex];
quindi usando la formula di De Moivre $z^n=r^n(cos n theta+i sin n theta)$ ottieni: $z^3=3(cos 3theta+i sin 3 theta)$, che uguagliato a $-3$ ti fornisce:
$cos 3theta=-1$ e $sin 3theta=0$,
da cui: $3theta=pi + 2k pi$; ricavi $theta$ e sostituisci per $k$ tutti i possibili valori ($0$, $1$ e $2$) che fanno rientrare $theta$ nell'intervallo $[0, 2 pi"["$.
"Palliit":
Ciao. Sembra anche a me che qualcosa non vada...
Da: $z^3=-3$ ponendo $z=r(cos theta + i sin theta)$ hai prima di tutto: $r^3=3$__$rightarrow$__[tex]r=\sqrt[3]{3}[/tex];
quindi usando la formula di De Moivre $z^n=r^n(cos n theta+i sin n theta)$ ottieni: $z^3=3(cos 3theta+i sin 3 theta)$, che uguagliato a $-3$ ti fornisce:
$cos 3theta=-1$ e $sin 3theta=0$,
da cui: $3theta=pi + 2k pi$; ricavi $theta$ e sostituisci per $k$ tutti i possibili valori ($0$, $1$ e $2$) che fanno rientrare $theta$ nell'intervallo $[0, 2 pi"["$.
grazie sei stato molto gentile, adesso provo altri esercizi e vedo se li faccio correttamente e in caso scrivo eventuali anomalie
quando metto in forma di eulero i numeri complessi e sono con un angolo per esempio di 300 gradi quindi IV quadrante, è indifferente scrivere
$e^(-i1/3pi)$ oppure $e^(i5/3pi)$ ? e quale conviene usare?
$e^(-i1/3pi)$ oppure $e^(i5/3pi)$ ? e quale conviene usare?
Normalmente l'angolo di anomalia si intende compreso tra $0$ e $2 pi$, anche se in un contesto del genere i due numeri che hai scritto sono equivalenti, a mio avviso (se poi li scrivi in forma algebrica).
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