Aiuto Calcolo Limite

[burm87]

Ciao a tutti, ho questo limite e non riesco a venirne fuori, qualcuno mi aiuta?

$lim x->+oo(sin(sqrt(x+1))-sin(sqrt(x)))$

Il risultato dice che il limite tende a 0, so che probabilmente devono essere utilizzate le formule di prostaferesi.
Grazie!

[Noisemaker]

a me sembra che non esista quel limite ....

[Zero87]

"Noisemaker":a me sembra che non esista quel limite ....

Attenzione, lo pensavo pure io, poi però ho pensato che
$\sqrt(x+1)$ è circa (non mi fa la "~" in LaTeX) $\sqrt(x)$ per $x->+\infty$...

[Noisemaker]

... modificandolo con le formule di prostaferesi alla fine mi risulta asintoticamente equivalente a

\begin{align*}
\sim\lim_{x\to +\infty}2\sin \sqrt x\cdot \cos \frac{1}{2\sqrt x}\ne \exists
\end{align*}

... ma forse sono ancora assonnato!!

[burm87]

Perchè in un accenno di dimostrazione veniva limitato, una cosa del genere:

$0 <= |sin(sqrt(x+1)-sin(sqrt(x)))| <= 2|sin((sqrt(x+1)-sqrt(x))/2)|$

Ma non so dove andare a parare.

[Noisemaker]

avevo fatto un errore nell'applicazione delle formule di prostaferesi (ricordarsele a memoria è sempre dura )... in realtà si ha:

\begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}2\cos\left(\frac{ \sqrt{x+1}+\sqrt x}{2}\right)\cdot \sin\left(\frac{ \sqrt{x+1}-\sqrt x}{2}\right)=\lim_{x\to +\infty}2\cos\left(\frac{ \sqrt{x+1}+\sqrt x}{2}\right)\cdot \sin\left(\frac{ 1}{2\left(\sqrt{x+1}+\sqrt x\right)}\right)\\
&\sim \lim_{x\to +\infty}2\cos\left(\frac{ 2\sqrt x }{2}\right)\cdot \sin\left(\frac{ 1}{4 \sqrt x }\right)\sim \lim_{x\to +\infty}2\cos \sqrt x \cdot \sin\left(\frac{ 1}{4 \sqrt x }\right)\\
0&\le\left|2\cos \sqrt x \cdot \sin\left(\frac{ 1}{4 \sqrt x }\right)\right|=\left|2\cos \sqrt x \right|\cdot \left|\sin\left(\frac{ 1}{4 \sqrt x }\right)\right| \le2\cdot \left|\sin\left(\frac{ 1}{4 \sqrt x }\right)\right|\to 0
\end{align*}

per confronto si conclude che il limite è zero