AIUTO calcolo integrale di volume
ciao ragazzi, sono nuovo del forum avrei bisogno di qualche dritta su come risolvere gli integrali per il calcolo del volume di un solido.
Per esempio come trovo il volume di un solido convesso compreso tra le seguenti superfici:
$z+4x = 1$
$z-1 = 2y^2 + 2x^2$
oppure
$y = x^2 + 2$
$y=6$
$z=0$
$y=3z-3$
grazie anticipatamente, aspetto che mi illuminiate con il vostro sapere.
Iacopo.
Per esempio come trovo il volume di un solido convesso compreso tra le seguenti superfici:
$z+4x = 1$
$z-1 = 2y^2 + 2x^2$
oppure
$y = x^2 + 2$
$y=6$
$z=0$
$y=3z-3$
grazie anticipatamente, aspetto che mi illuminiate con il vostro sapere.
Iacopo.
Risposte
Innanzi tutto dovresti cercare di disegnare la tua regione. In modo da avere un'idea di come fare a sviluppare l'integrale sfruttando simmetrie o cose del genere. Riesci a farti un'idea della forma di quei due insiemi?
in parte posso immaginarmi che piani o curve possono formarsi con parte dei sistemi che ho, ma per altre non saprei cosa rappresentino.
più che altro mi serve il metodo per impostazione dell'integrale multiplo che mi calcoli il volume.
più che altro mi serve il metodo per impostazione dell'integrale multiplo che mi calcoli il volume.
nessuno mi sa aiutare??
"ZellDintch":
ciao ragazzi, sono nuovo del forum avrei bisogno di qualche dritta su come risolvere gli integrali per il calcolo del volume di un solido.
Per esempio come trovo il volume di un solido convesso compreso tra le seguenti superfici:
$z+4x = 1$
$z-1 = 2y^2 + 2x^2$
oppure
$y = x^2 + 2$
$y=6$
$z=0$
$y=3z-3$
grazie anticipatamente, aspetto che mi illuminiate con il vostro sapere.
Iacopo.
avresti per cortesia i risultati? Voglio essere sicuro di quello che ti postero'...
purtroppo sono testi di esami, non ho i risultati. cmq posta lo stesso quello che pensi così posso farmi un'idea.
quindi?
Quindi cerca di capire bene che figure rappresentano le 2 equazioni che hai scritto....in modo da scrivere il sistema per determinare i loro punti di intersezione che costituiscono gli estremi di integrazione.
La prima è banale è una retta nel piano zx la seconda se non ricordo male è un paraboloide
La prima è banale è una retta nel piano zx la seconda se non ricordo male è un paraboloide
[OT]
Zellino, ma sei proprio tu?
RoC, WoW, Hokuto, etc...???
[/OT]
Zellino, ma sei proprio tu?
RoC, WoW, Hokuto, etc...???
[/OT]
per il primo che hai proposto puoi ragionare così. La prima equazione definisce un piano la cui normale giace nel piano xz e vale (4,0,1), inoltre il piano è affine nel senso che non passa per l'origine. Per rappresentarlo pensa di guardare il piano xz (y=0) e vedrai la retta z+4x=1. La seconda equazione puoi intuirla fissando una delle variabili (questo equivale a intersecare il volume con un piano e guardare il grafico su quel piano) in maniera opportuna. Ad esempio puoi porre y=0 (piano xz) e ottenere $z-1 = 2x^2$ cioè una parabola, poi x=0 (piano yz) e avrai $z-1 = 2y^2$, cioè la stessa parabola. Scopri quindi una simmetria cilindrica attorno all'asse z. Adesso per capire come integrare devi capire com'è messo il tuo insieme. In questo caso sarà dato dall'interno del paraboloide, tagliato ad una certa quota dal piano obliquo. Prendiamo il piano xz (y=0) per visualizzare. Lì le due superfici sono curve, nel caso specifico la retta $z+4x=1$ e la parabola $z-1=x^2$. Cerchiamo i punti di intersezione risolvendo
$\{ (z+4x=1), (z-1=x^2) :}$ $\{ (z-1=-4x), (z-1=x^2) :}$ $\{ ((x,z) = (0,1)), ((x,z) = (-4,17)) :}$
Se disegni tutto questo nel piano xz dovrebbe esserti più chiara la forma del tuo insieme. Adesso prova a fissare un piano $z=cost !=0$ e studia che figura viene fuori. Trova l'area di quella figura, che sarà una funzione di z! Dovresti riuscire a farlo con degli integrali normali. A questo punto per ottenere il volume integra l'area, che è una funzione di z, da 1 a 17 e hai finito!
$\{ (z+4x=1), (z-1=x^2) :}$ $\{ (z-1=-4x), (z-1=x^2) :}$ $\{ ((x,z) = (0,1)), ((x,z) = (-4,17)) :}$
Se disegni tutto questo nel piano xz dovrebbe esserti più chiara la forma del tuo insieme. Adesso prova a fissare un piano $z=cost !=0$ e studia che figura viene fuori. Trova l'area di quella figura, che sarà una funzione di z! Dovresti riuscire a farlo con degli integrali normali. A questo punto per ottenere il volume integra l'area, che è una funzione di z, da 1 a 17 e hai finito!
[/img]questo è l esercizio di un vecchio compito. Non ho capito come è stato svolto, in patica l insieme A mi descrive una retta coicidente con l asse delle y (y=0) e una parabola con concavità verso il basso ([tex]z=1-y^2[/tex])e inoltre mi dice che a me interessa la parte maggiore o uguale a 0 delle y, la parte maggiore o uguale a 0 delle z, e inoltre dice che la z deve essere minore della parabola [tex]1-y^2[/tex] quindi se non ho ragionato male, a me interessa l area segnata in nero nel disegno.
quello che non capisco è cme mai ha fatto [tex]\pi \int_{0}^{1} (1-z)^2 dz[/tex] e sopratutto il [tex]\pi[/tex] da dove è venuto fuori...
Grazie mille a chi mi aiuta...
Ma pechè non linkare un thumb al posto di un'immagine intera?
"alle.fabbri":
per il primo che hai proposto puoi ragionare così. La prima equazione definisce un piano la cui normale giace nel piano xz e vale (4,0,1), inoltre il piano è affine nel senso che non passa per l'origine. Per rappresentarlo pensa di guardare il piano xz (y=0) e vedrai la retta z+4x=1. La seconda equazione puoi intuirla fissando una delle variabili (questo equivale a intersecare il volume con un piano e guardare il grafico su quel piano) in maniera opportuna. Ad esempio puoi porre y=0 (piano xz) e ottenere $z-1 = 2x^2$ cioè una parabola, poi x=0 (piano yz) e avrai $z-1 = 2y^2$, cioè la stessa parabola. Scopri quindi una simmetria cilindrica attorno all'asse z. Adesso per capire come integrare devi capire com'è messo il tuo insieme. In questo caso sarà dato dall'interno del paraboloide, tagliato ad una certa quota dal piano obliquo. Prendiamo il piano xz (y=0) per visualizzare. Lì le due superfici sono curve, nel caso specifico la retta $z+4x=1$ e la parabola $z-1=x^2$. Cerchiamo i punti di intersezione risolvendo
$\{ (z+4x=1), (z-1=x^2) :}$ $\{ (z-1=-4x), (z-1=x^2) :}$ $\{ ((x,z) = (0,1)), ((x,z) = (-4,17)) :}$
Se disegni tutto questo nel piano xz dovrebbe esserti più chiara la forma del tuo insieme. Adesso prova a fissare un piano $z=cost !=0$ e studia che figura viene fuori. Trova l'area di quella figura, che sarà una funzione di z! Dovresti riuscire a farlo con degli integrali normali. A questo punto per ottenere il volume integra l'area, che è una funzione di z, da 1 a 17 e hai finito!
Ciao ho un problema simile che non riesco a risolvere.. come si fa a integrare per sezioni se viene tagliato da
un piano obliquo?
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