Aiuto ad una neofita (analisi 3)
ciao a tutti
mi chiamo Laura
e studio ingegneria ambientale
per l'esame di analisi 3 ho alcuni problemi
a capire chiaramente come risolvere questi esercizi:
esercizio 1 integrale doppio con cambio di variabili
data f(x,y)=(y-x)(y+4x)e^(-(y+4x)^2)
nel dominio Dk
Dk tale che (x-1)<= y <=(x+4)
(-4x-4)<= y <=(-4x+k)
devo trovare:
-un cambiamento variabile che consenta di
risolvere f(x,y)
-l'integrale su Dk
esercizio 2
data l'equazione differenziale
y'' + y' - 6y=(-72x^2 +90x-17)*e^(-6x)
devo trovare
la soluzione del problema di Cauchy relativa
alle condizioni iniziali y(0)=0 e y'(0)=6
potreste spiegarmi come
si risolve in generale un problema di Cauchy?
ringrazio tutti anticipatamente
Ciao LAURA[:)]
mi chiamo Laura
e studio ingegneria ambientale
per l'esame di analisi 3 ho alcuni problemi
a capire chiaramente come risolvere questi esercizi:
esercizio 1 integrale doppio con cambio di variabili
data f(x,y)=(y-x)(y+4x)e^(-(y+4x)^2)
nel dominio Dk
Dk tale che (x-1)<= y <=(x+4)
(-4x-4)<= y <=(-4x+k)
devo trovare:
-un cambiamento variabile che consenta di
risolvere f(x,y)
-l'integrale su Dk
esercizio 2
data l'equazione differenziale
y'' + y' - 6y=(-72x^2 +90x-17)*e^(-6x)
devo trovare
la soluzione del problema di Cauchy relativa
alle condizioni iniziali y(0)=0 e y'(0)=6
potreste spiegarmi come
si risolve in generale un problema di Cauchy?
ringrazio tutti anticipatamente
Ciao LAURA[:)]
Risposte
2° es .
E' abbastanza usuale.L'equazione caratteristica e':
L^2+L-6=0--->L1=-3,L2=2 per cui la soluzione e':
y=C1*e^(-3x)+C2*e^(2x)+Y0 dove Y0 e una soluzione
particolare da trovare.Nel caso nostro sara' del tipo:
Y0=(ax^2+bx+c)*e^(-6x) .
Sostituendo nella equazione diff. data ,con calcoli
lunghetti ma normali,si trova che:a=-3,b=1,c=0 e pertanto
la soluzione generale sara':
(1) y=C1*e^(-3x)+C2*e^(2x)+(-3x^2+x)*e^(-6x)
Per risolvere il problema di Cauchy assegnato occorre
trovare C1 e C2.Il procedimento generale e' semplice:
basta calcolare y(0) e y'(0), eguagliare tali espressioni
ai valori dati che sono,nel nostro caso, 0 e 6 e poi
risolvere il sistema in C1 e C2 che ne risulta.Infine
bastera' sostituire i valori di C1 e C2 trovati nella soluzione
generale (1).
I calcoli:
y(0)=C1+C2
y'=-3C1*e^(-3x)+2C2*e^(2x)+(-6x+1)*e^(-6x)-6(-3x^2+x)*e^(-6x)
Quindi:
y'(0)=-3C1+2C2+1
Il sistema e':[C1+C2=0,-3C1+2C2+1=6]--->C1=-1,C2=1 e quindi la soluzione al problema di Cauchy e':
y=-e^(-3x)+e^(2x)+(-3x^2+x)*e^(-6x).
Per il secondo problema avrei gia' individuato la
trasformazione da fare [u=-x+y,v=4x+y] ma per continuare
nei calcoli dovrei sapere se quel k che compare nella seconda
equazione del dominio e' proprio un "k" o e' un "4".
In questo secondo caso il problema si semplificherebbe di molto.
karl.
E' abbastanza usuale.L'equazione caratteristica e':
L^2+L-6=0--->L1=-3,L2=2 per cui la soluzione e':
y=C1*e^(-3x)+C2*e^(2x)+Y0 dove Y0 e una soluzione
particolare da trovare.Nel caso nostro sara' del tipo:
Y0=(ax^2+bx+c)*e^(-6x) .
Sostituendo nella equazione diff. data ,con calcoli
lunghetti ma normali,si trova che:a=-3,b=1,c=0 e pertanto
la soluzione generale sara':
(1) y=C1*e^(-3x)+C2*e^(2x)+(-3x^2+x)*e^(-6x)
Per risolvere il problema di Cauchy assegnato occorre
trovare C1 e C2.Il procedimento generale e' semplice:
basta calcolare y(0) e y'(0), eguagliare tali espressioni
ai valori dati che sono,nel nostro caso, 0 e 6 e poi
risolvere il sistema in C1 e C2 che ne risulta.Infine
bastera' sostituire i valori di C1 e C2 trovati nella soluzione
generale (1).
I calcoli:
y(0)=C1+C2
y'=-3C1*e^(-3x)+2C2*e^(2x)+(-6x+1)*e^(-6x)-6(-3x^2+x)*e^(-6x)
Quindi:
y'(0)=-3C1+2C2+1
Il sistema e':[C1+C2=0,-3C1+2C2+1=6]--->C1=-1,C2=1 e quindi la soluzione al problema di Cauchy e':
y=-e^(-3x)+e^(2x)+(-3x^2+x)*e^(-6x).
Per il secondo problema avrei gia' individuato la
trasformazione da fare [u=-x+y,v=4x+y] ma per continuare
nei calcoli dovrei sapere se quel k che compare nella seconda
equazione del dominio e' proprio un "k" o e' un "4".
In questo secondo caso il problema si semplificherebbe di molto.
karl.
grazie per l'aiuto[:)]
il K e' un valore simbolico > 4
ciao LAURA
il K e' un valore simbolico > 4
ciao LAURA
Meno male che in questi giorni cominciano a rivedersi sul forum
più discussioni matematiche e meno discussioni filosofiche!!!
Non se ne poteva più! Era ora!
più discussioni matematiche e meno discussioni filosofiche!!!
Non se ne poteva più! Era ora!
-mi dispiace[V] ma ho sbagliato a scrivere,
la traccia corretta e':
esercizio 1 integrale doppio con cambio di variabili
data f(x,y)=(y-x)(y+4x)e^(-(y+4x)^2)
nel dominio Dk
Dk tale che (x-1)<= y <=(x+4)
(-4x+4)<= y <=(-4x+k) con k>4
...
-come trovo in generale una sostituzione??
-per controllare se ho capito
potreste dirmi qual e' la soluzione
del problema di Cauchy di y'=3/x
con y(1)=1
grazie
ciao LAURA
la traccia corretta e':
esercizio 1 integrale doppio con cambio di variabili
data f(x,y)=(y-x)(y+4x)e^(-(y+4x)^2)
nel dominio Dk
Dk tale che (x-1)<= y <=(x+4)
(-4x+4)<= y <=(-4x+k) con k>4
...
-come trovo in generale una sostituzione??
-per controllare se ho capito
potreste dirmi qual e' la soluzione
del problema di Cauchy di y'=3/x
con y(1)=1
grazie
ciao LAURA
la sol del prob di cauchy è y=3log(x)+1, che infatti verifica le condizioni iniziali
Per Cauchy la soluzione e' y=3ln(|x|)+1 ,oppure
y=ln(|x^3|)+1
Per l'integrale doppio la trasformazione piu'
conveniente e' quella che ho detto e cioe':
u=-x+y
v=4x+y
da cui:
x=-u/5+v/5
y=4u/5+v/5
lo jacobiano della trasf. e':
J=-1/5
dalle limitazioni del dominio si ricava:
(x-1)<= y <=(x+4)
(-4x+4)<= y <=(-4x+k)
ovvero:
-1<=-x+y<=4
4<=4x+y<=k
od anche :
-1<=u<=4
4<=v<=k
e questo e' il dominio di (u,v).
Sostituendo nell'integrale risulta:
[intint=simbolo di integrale doppio]
I=-1/5*intint[u*v*e^(-v)]dudv [esteso al dominio (u,v)].
Quindi,separando le variabili,si ha.
I=-1/5*int[u*du]*int[d(-1/2*e^(-v^2))]=
-1/5*(16/2-1/2)*(-1/2)*[e^(-k^2)-e^(-16)]=
=3/4*[e^(-k^2)-e^(-16)].
Per quanto riguarda la scelta della trasformazione,
purtroppo non ci sono regole generali.Io mi sono basato
sulla forma del dominio, confrontandola con quella
della funzione da integrare.
Saluti da karl.
y=ln(|x^3|)+1
Per l'integrale doppio la trasformazione piu'
conveniente e' quella che ho detto e cioe':
u=-x+y
v=4x+y
da cui:
x=-u/5+v/5
y=4u/5+v/5
lo jacobiano della trasf. e':
J=-1/5
dalle limitazioni del dominio si ricava:
(x-1)<= y <=(x+4)
(-4x+4)<= y <=(-4x+k)
ovvero:
-1<=-x+y<=4
4<=4x+y<=k
od anche :
-1<=u<=4
4<=v<=k
e questo e' il dominio di (u,v).
Sostituendo nell'integrale risulta:
[intint=simbolo di integrale doppio]
I=-1/5*intint[u*v*e^(-v)]dudv [esteso al dominio (u,v)].
Quindi,separando le variabili,si ha.
I=-1/5*int[u*du]*int[d(-1/2*e^(-v^2))]=
-1/5*(16/2-1/2)*(-1/2)*[e^(-k^2)-e^(-16)]=
=3/4*[e^(-k^2)-e^(-16)].
Per quanto riguarda la scelta della trasformazione,
purtroppo non ci sono regole generali.Io mi sono basato
sulla forma del dominio, confrontandola con quella
della funzione da integrare.
Saluti da karl.
scusa karl, ma il modulo dentro al logaritmo è davvero necessario? ad esempio, se anzichè di una generica variabile indipendente x si fosse trattato del tempo t, supposto che esso non è mai negativo, che me ne faccio del modulo?
E' vero ma bisogna sapere in anticipo il tipo di
variabile,altrimenti il modulo e' sempre necessario.
In questo modo la soluzione continua a rimanere valida
anche per x<0.
Comunque voglio dirti che la mia soluzione non voleva
essere un correttivo alla tua.Gli e' che ,quando ho
postato la mia soluzione,non mi sono accorto che c'era
gia' la tua (altrimenti forse non l'avrei manco messa).
karl.
variabile,altrimenti il modulo e' sempre necessario.
In questo modo la soluzione continua a rimanere valida
anche per x<0.
Comunque voglio dirti che la mia soluzione non voleva
essere un correttivo alla tua.Gli e' che ,quando ho
postato la mia soluzione,non mi sono accorto che c'era
gia' la tua (altrimenti forse non l'avrei manco messa).
karl.
Don't worry...
Per quanto riguarda la scelta di una opportuna trasformazione :
(x , y) = f(u , v)
che mi trasformi il dominio originario in un dominio più "maneggevole", consiglierei in generale, nel caso di domini a forma di triangolo o di parallelogramma (come nell'esercizio), una trasformazione affine del tipo :
(x , y) = (a , b) + u * (c , d) + v * (e , f)
con i parametri a,b,c,d,e,f tali da trasformare per esempio un triangolo qualunque in un triangolo rettangolo isoscele di cateto 1 che "sieda" sul primo quadrante od un parallelogramma in un quadrato di lato 1 anche lui "seduto" sul primo quadrante.
Questo perchè una trasformazione affine trasforma un segmento in un segmento.
La trsformazione proposta da karl va benissimo. Essa trasforma il parallelogramma in un rettangolo.
A trasformazione avvenuta, se la nuova funzione integranda è "abbordabile", abbiamo raggiunto il nostro scopo.
Per altri tipi di dominio, si può osservare se ci sono delle simmetrie particolari. Se c'è un cerchio, per esempio, può convenire passare alle coordinate polari. In maniera simile per una ellisse ecc. ecc.
Bye.
(x , y) = f(u , v)
che mi trasformi il dominio originario in un dominio più "maneggevole", consiglierei in generale, nel caso di domini a forma di triangolo o di parallelogramma (come nell'esercizio), una trasformazione affine del tipo :
(x , y) = (a , b) + u * (c , d) + v * (e , f)
con i parametri a,b,c,d,e,f tali da trasformare per esempio un triangolo qualunque in un triangolo rettangolo isoscele di cateto 1 che "sieda" sul primo quadrante od un parallelogramma in un quadrato di lato 1 anche lui "seduto" sul primo quadrante.
Questo perchè una trasformazione affine trasforma un segmento in un segmento.
La trsformazione proposta da karl va benissimo. Essa trasforma il parallelogramma in un rettangolo.
A trasformazione avvenuta, se la nuova funzione integranda è "abbordabile", abbiamo raggiunto il nostro scopo.
Per altri tipi di dominio, si può osservare se ci sono delle simmetrie particolari. Se c'è un cerchio, per esempio, può convenire passare alle coordinate polari. In maniera simile per una ellisse ecc. ecc.
Bye.
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