Aiuto 2 esercizi geometria spazio

[nikoroby84]

1) Tra le rette passanti per l'origine O(0,0,0) trovare le equazioni parametriche di quelle che sono ortogonali tra loro e delimitano triangoli rettangoli isosceli con la retta r: x-1=0 ;2y-z=0

2) Trovare le equazioni delle rette che passano per il punto A(1,0,0) che intersecano la retta s : x=0;x=2y formando con essa un angolo uguale a pi/4

[ciampax]

PROBLEMA 1) L'equazione parametrica di una retta generica passante per l'origine è della forma

[math]s:\left\{\begin{array}{l}
at\\ bt\\ ct
\end{array}\right.[/math]

dove

[math]v=(a\ b\ c)[/math]

è il vettore direzione e

[math]t\in\mathbb{R}[/math]

il parametro. Se

[math]v'=(a'\ b'\ c')[/math]

è il vettore direzione di un altra retta

[math]s'[/math]

passante per il punto

[math]O(0,0,0)[/math]

allora la condizione di ortogonalità tra le rette

[math]s, s'[/math]

è data da

[math]v\times v'=a a'+b b'+c c'=0[/math]

(prodotto scalare nullo)

Ora, le due rette date intersecano la retta

[math]r[/math]

nel punto soluzione del seguente sistema

[math]\left\{\begin{array}{l}
at=1\\ 2bt-ct=0
\end{array}\right.[/math]

per cui, ogni volta che assegniamo un vettore direzione, otteniamo l'intersezione

[math]\left(1,\frac{b}{a},\frac{c}{a}\right)[/math]

con la condizione che

[math]c=2b[/math]

(altrimenti non ci sono intersezioni).

Questo implica che dobbiamo porre

[math]v=(a\ b\ 2b),\ v'=(a'\ b'\ 2b')[/math]

per cui la condizione di perpendicolarità risulta

[math]a a'+5b b'=0[/math]

Inoltre, le distanze dei punti di intersezione dall'origine devono essere uguali (per avere il triangolo rettangolo isoscele) per cui

[math]1+\frac{b^2}{a^2}+\frac{4b^2}{a^2}=1+\frac{b'^2}{a'^2}+\frac{4b'^2}{a'^2}\ \Rightarrow\ \frac{b^2}{a^2}=\frac{b'^2}{a'^2}[/math]

La condizione di ortogonalità può essere scritta come

[math]\frac{b'}{a'}=-\frac{a}{5b}[/math]

che sostituite nell'equazione per la distanza portano a

[math]\frac{b^2}{a^2}=\frac{a^2}{25b^2}\ \Rightarrow\ a^4=25b^4\ \Rightarrow\ a=\pm\sqrt{5} b[/math]

e quindi, sostituendo nella condizione di ortogonalità

[math]b'=-\frac{\pm\sqrt{5} b}{5b}\ a'=\mp\frac{\sqrt{5}}{5} a'[/math]

da cui

[math]a'=\mp\frac{5}{\sqrt{5}} b'=\mp\sqrt{5} b'[/math]

Ne segue che le rette soddisfacenti le condizioni richieste sono le coppie i cui vettori direzione sono pari a

[math]v=\left(\pm\sqrt{5}\ 1\ 2\right),\qquad v'=\left(\mp\sqrt{5} \ 1\ 2)[/math]

con

[math]b=b'=1[/math]

PROBLEMA 2) L'equazione della generica retta per

[math]A(1,0,0)[/math]

è

[math]\left\{\begin{array}{l}
x=1+at\\ y=bt \\ z=ct
\end{array}\right.[/math]

con

[math]v=(a\ b\ c)[/math]

il vettore direzione. La retta precedente interseca quella assegnata se e solo se

[math]1+at=0,\ ct=2bt[/math]

che impongono la condizione

[math]c=2b[/math]

da cui

[math]v=(a\ b\ 2b)[/math]

. Per determinare il vettore direzione della retta assegnata, osserviamo che i vettori normali ai due piani che intersecano nella retta sono

[math]n_1=(1\ 0\ 0),\ n_2=(0\ 2\ 1)[/math]

per cui la direzione

[math]u[/math]

della retta data è pari al loro prodotto vettoriale:

[math]u=n_1\wedge n_2=(0\ 1\ 2)[/math]

Per definizione di prodotto scalare tra due vettori

[math]V, U[/math]

si ha che l'angolo

[math]\alpha[/math]

formato tra i due vettori è pari a

[math]\cos\alpha=\frac{V\times U}{|V|\cdot |U|}[/math]

dove con

[math]|V|[/math]

ho indicato la norma (modulo) del vettore. Abbiamo allora

[math]\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{b+4b}{\sqrt{a^2+5b^2}\cdot\sqrt{1+4}}[/math]

[math]\sqrt{10(a^2+5b^2)}=10b[/math]

[math]10(a^2+5b^2)=100b^2\ \Rightarrow\ a^2=5b^2\ \Rightarrow\ a=\pm\sqrt{5} b[/math]

per cui le rette cercate sono quelle con direzione

[math]v=(\pm\sqrt{5}\ 1\ 2)[/math]

(avendo posto

[math]b=1[/math]

)