Aiutino successioni...
Ho un dubbio sulla seguente domanda che riguarda le successioni:
Siano $a_n$ e $b_n$ due successioni di n.ri reali tali che
$a_n$ $>=$ $b_n$ $>=$ $2$ per ogni $n$ in $N$.
Allora:
a)se $EE$ $lim(n->oo)$ $b_n$ $=$ $2$ allora $EE$ $lim(n->oo)$ $a_n$ $>=$ $2$;
b)se $EE$ $lim(n->oo)$$a_n$$ =$$ 4$ allora $EE$ $lim(n->oo )$$b_n$$ <=$$4$;
c)se $EE$ $lim(n->oo)$ $a_n$ allora $EE$ $lim(n->oo) $$b_n$;
d)se $EE$ $lim (n->oo)$ $b_n$ $=$ $+oo$ allora $EE$ $lim(n->oo)$ $a_n$ $>=$$+oo$
Ho provato a svilupparla in due modi:
1) ponendo $a_n$ $=$ $(1+1/n)^(n+1)$ e $b_n$ $=$ $(1+1/n)^n$, in questo modo darei per buona la seconda...
2)oppure se considero $b_n$ limitata superiormente e decrescente $lim(n->oo)$$ b_n$ $=$ $2$ e poichè $a_n$$>=$$b_n$
$lim(n->oo)$$a_n$ $>=$$ 2$...quindi sarebbe giusta la prima...
Dove sbaglio, magari proprio l'impostazione del ragionamento??????Qualcuno può aiutarmi?!!?
Grazie mille in anticipo
Siano $a_n$ e $b_n$ due successioni di n.ri reali tali che
$a_n$ $>=$ $b_n$ $>=$ $2$ per ogni $n$ in $N$.
Allora:
a)se $EE$ $lim(n->oo)$ $b_n$ $=$ $2$ allora $EE$ $lim(n->oo)$ $a_n$ $>=$ $2$;
b)se $EE$ $lim(n->oo)$$a_n$$ =$$ 4$ allora $EE$ $lim(n->oo )$$b_n$$ <=$$4$;
c)se $EE$ $lim(n->oo)$ $a_n$ allora $EE$ $lim(n->oo) $$b_n$;
d)se $EE$ $lim (n->oo)$ $b_n$ $=$ $+oo$ allora $EE$ $lim(n->oo)$ $a_n$ $>=$$+oo$
Ho provato a svilupparla in due modi:
1) ponendo $a_n$ $=$ $(1+1/n)^(n+1)$ e $b_n$ $=$ $(1+1/n)^n$, in questo modo darei per buona la seconda...
2)oppure se considero $b_n$ limitata superiormente e decrescente $lim(n->oo)$$ b_n$ $=$ $2$ e poichè $a_n$$>=$$b_n$
$lim(n->oo)$$a_n$ $>=$$ 2$...quindi sarebbe giusta la prima...
Dove sbaglio, magari proprio l'impostazione del ragionamento??????Qualcuno può aiutarmi?!!?
Grazie mille in anticipo
Risposte
"nadine":
Ho un dubbio sulla seguente domanda che riguarda le successioni:
Siano an e bn due successioni di n.ri reali tali che $an >= bn >= 2$ per ogni $n in N$.Allora:
a)se esiste $lim_(n->oo) bn = 2$ allora esiste $lim_(n->oo) an >=2$;
b)se esiste $lim_(n->oo ) an = 4$ allora $lim_(n->oo ) bn <=4$;
c)se esiste $lim_(n->oo) an$ allora esiste $lim_(n->oo) bn$;
d)se esiste $lim_(n->oo) bn = +oo$ allora esiste $lim_(n->oo) an >=+oo$
Ho provato a svilupparla in due modi:
1) ponendo $an = (1+1/n)^(n+1)$ e $bn = (1+1/n)^n$, in questo modo darei per buona la seconda...
2)Oppure se considero $bn$ limitata superiormente e decrescente $lim bn = 2$ e poichè $an >= bn$ $lim an >= 2$...quindi sarebbe giusta la prima...
Dove sbaglio, magari proprio l'impostazione del ragionamento??????Qualcuno può aiutarmi?!!?
Grazie mille in anticipo
L'ho quotato e corretto così ci si capisce meglio. Provo a dimostrarlo, poi ti dico (se qualcuno non arriva prima...).
Per la proprietà archimedea, se $an>bn$, allora esiste un $k>0$ tale che $bn+k=an$; sostituendo nella $a)$ si ottiene, immediatamente: $lim_(n->oo) bn = 2$ $=>$$lim_(n->oo)(bn+k)>=2$ per l'ipotesi che k sia maggiore di 0.
grazie mille... 
Ma cosa c'entra Archimede qui? Non è un esercizio sul teorema del confronto?
..Non parlo benissimo il "matematichese", infattiquesta proprietà, ahimè non mi è nota
...credo ci sia anche un modo, forse più semplice per arrivare alla soluzione...ti ringrazio comunque IvanTerr..
P.S.Ho capito quello che tu hai fatto...ma mi chiedo se si può arrivare alla stessa soluzione senza Archimde...
Il fatto è che non è matematichese, ma "tipografia" 
. Qui se ho capito bene stiamo parlando di successioni, che possiamo scrivere nella forma $(a_n)_{n in NN}$ (si possono usare anche maniere di scrivere diverse, ma non importa). Poi non ho capito come mai è uscito fuori che, invece di generiche successioni, stiamo parlando di successioni del tipo $a*n$. Senza bisogno di tirare in ballo la proprietà di Archimede, si concluderebbe subito che entrambe le successioni $(a n)$ e $(b n)$ divergono a meno che le costanti non siano 0.
Io userei il teorema del confronto o come diavolo si chiama (quello per cui $a_n>=b_n$ $=>$ $lim_{n->oo}a_n>=lim_{n->oo}b_n$) e a quel punto dai non è difficile pensaci.
Occhio comunque che quel ricorso alla proprietà di Archimede mi sembra un misunderstanding pauroso (sempre che non mi sbagli io ignorando una possibile versione di questo assioma o che abbia completamente frainteso IvanTerr e in tal caso mi scuso).
. Qui se ho capito bene stiamo parlando di successioni, che possiamo scrivere nella forma $(a_n)_{n in NN}$ (si possono usare anche maniere di scrivere diverse, ma non importa). Poi non ho capito come mai è uscito fuori che, invece di generiche successioni, stiamo parlando di successioni del tipo $a*n$. Senza bisogno di tirare in ballo la proprietà di Archimede, si concluderebbe subito che entrambe le successioni $(a n)$ e $(b n)$ divergono a meno che le costanti non siano 0.Io userei il teorema del confronto o come diavolo si chiama (quello per cui $a_n>=b_n$ $=>$ $lim_{n->oo}a_n>=lim_{n->oo}b_n$) e a quel punto dai non è difficile pensaci.
Occhio comunque che quel ricorso alla proprietà di Archimede mi sembra un misunderstanding pauroso (sempre che non mi sbagli io ignorando una possibile versione di questo assioma o che abbia completamente frainteso IvanTerr e in tal caso mi scuso).
Stiamo parlando si successioni $(a_n)_{n in NN}$...anche io come seconda opzione ho usato quel teorema infatti se leggi il mio primo post c'è scritto...ma volevo una conferma,visto che non ne ero sicura(e che avevo qualche dubbio!!!) 
P.S.Qual è l'opzione che mi permette di scrivere i vari simboli(lim, integrale,etc...)in modo da rendere il tutto più comprensibile?
OK..fatto!!Thanks
P.S.Qual è l'opzione che mi permette di scrivere i vari simboli(lim, integrale,etc...)in modo da rendere il tutto più comprensibile?
OK..fatto!!Thanks
Metti una formula tra due simboli del dollaro, ad esempio: \$a_n\$ diventa $a_n$.
Vedi qui:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
Vedi qui:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
Perdonatemi se insisto...ma il mio dubbio persiste...il teorema del confronto presuppone che esistano entrambi i limiti, di $a_n$ e $b_n$, e chiamandoli rispettivamente a e b risulta $a >= b$, poichè $a_n$$>=$$b_n$...ma questo non vuol dire che l'esistenza del limite di $b_n$--->implica l'esistenza del limite di $a_n$...
(nella risposta uno se esiste lim bn = 2 allora esiste..etc)????????????
O continuo a sbagliare e in realtà è molto più semplice di quel che credo....
(nella risposta uno se esiste lim bn = 2 allora esiste..etc)????????????
O continuo a sbagliare e in realtà è molto più semplice di quel che credo....
"nadine":
Perdonatemi se insisto...ma il mio dubbio persiste...il teorema del confronto presuppone che esistano entrambi i limiti, di $a_n$ e $b_n$, e chiamandoli rispettivamente a e b risulta $a >= b$, poichè $a_n$$>=$$b_n$...ma questo non vuol dire che l'esistenza del limite di $b_n$--->implica l'esistenza del limite di $a_n$...
(nella risposta uno se esiste lim bn = 2 allora esiste..etc)????????????
O continuo a sbagliare e in realtà è molto più semplice di quel che credo....
Infatti, hai perfettamente ragione...
Tutte le proposizioni elencate nel tuo primo post, a parte l'ultima (quella che, in sostanza, dice $lim_n b_n=+oo quad => quad lim_n a_n=+oo$), sono false ed è molto semplice trovare dei controesempi.
Ad esempio per c) basta prendere $a_n=4*(1+1/n)$ e $b_n=3+sinn$: si ha $AA n in NN, a_n>4 ge b_n ge 2$, $lim_n a_n=4$ e però $(b_n)$ non è regolare (non esiste il limite $lim_n b_n$ poichè si ha $"min"lim_n b_n=2!=4="max"lim_n b_n$).
Hai ragione: in effetti ho trascurato la questione dell'esistenza...meriterei di essere picchiato!
La a in generale ad esempio mi sembra falsa: se $b_n=2$ e $a_n=3+(-1)^n$, il limite di $a_n$ non esiste...
EDIT: Scusa Gugo, non avevo visto la risposta... a te l'onore di picchiarmi.
La a in generale ad esempio mi sembra falsa: se $b_n=2$ e $a_n=3+(-1)^n$, il limite di $a_n$ non esiste...
EDIT: Scusa Gugo, non avevo visto la risposta... a te l'onore di picchiarmi.
"amel":
Hai ragione: in effetti ho trascurato la questione dell'esistenza...meriterei di essere picchiato!
La a in generale ad esempio mi sembra falsa: se $b_n=2$ e $a_n=3+(-1)^n$, il limite di $a_n$ non esiste...
EDIT: Scusa Gugo, non avevo visto la risposta... a te l'onore di picchiarmi.
Detto, fatto...
Beh, comunque dovrei chiedere io scusa per essermi intromesso...
Solo colpi sopra la cintura, però... 
Vabbè basta boiate fine ot...
A questo punto però mi chiedo com'è l'esercizio...
Vabbè basta boiate fine ot...
A questo punto però mi chiedo com'è l'esercizio...
"amel":
A questo punto però mi chiedo com'è l'esercizio...
Sì, in effetti mi pare strano...
Secondo me i casi sono due: o si trattava di un "Segna la risposta corretta" (in tal caso, ovviamente, la risposta esatta sarebbe la d)) oppure era un "Conferma o smetisci con un controesempio".
Non voglio credere che il docente chiedesse di dimostrare quegli enunciati (palesemente falsi), altrimenti sarebbe più utile a lui un ripassino di Analisi di base che ai suoi studenti (come mostra la risposta sensata dell'ultimo post di nadine)...
P.S.: un'altra possibilità è quella del fraintendimento, ovvio.
L'esercizio era di segnare la risposta corretta...e ovviamente motivarla!!!Vi ringrazio cmq, è solo che sbadatamente avevo scartato la d) perchè quel $>=$$ +oo$ mi aveva fuorviato...ho subito pensato che fosse errata!!!E invece a quanto pare era l'unica possibile!!!
Che bello potersi confrontare...
Che bello potersi confrontare...
"nadine":
L'esercizio era di segnare la risposta corretta...e ovviamente motivarla!!!
Ah, ecco...
"nadine":
Vi ringrazio cmq, è solo che sbadatamente avevo scartato la d) perchè quel $>=$$ +oo$ mi aveva fuorviato...ho subito pensato che fosse errata!!!E invece a quanto pare era l'unica possibile!!!
Che bello potersi confrontare...
La prossima volta fai più attenzione.
(O comunque ricorda che $+oo$ è l'elemento massimale di $hatRR$ rispetto alla relazione d'ordine $le$, nel senso che $AAa in hatRR, +oole a quad => quad a=+oo$; simmetricamente $-oo$ è l'elemento minimale.)
OK farò più attenzione 
...chiedo venia...
...chiedo venia...
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