Aiutino su teorema di Dini
Ciao a tutti!
Stavo dimostrando il teorema di Dini, quello sulle funzioni implicite, quando ho avuto un dubbio e mi ci sono bloccato senza venirne a capo.
Non sto qui a scrivervi tutta la dimostrazione, perchè penso sia uguale più o meno su tutti i libri e venga esposto ugualmente in tutte le università; io mi sono bloccato quando ad un certo punto il libro mi afferma che:
[...] allora $y->(\bar x, y)$ è continua e strettamente crescente, e definita su tutto l'intervallo $[y_0 - \epsilon, y_0 + \epsilon]$.
Ma da cosa è data la monotonia, e da cosa è data la continuità?
Inoltre perchè è definita su tutto l'intervallo $[y_0 - \epsilon, y_0 + \epsilon]$ ?
Stavo dimostrando il teorema di Dini, quello sulle funzioni implicite, quando ho avuto un dubbio e mi ci sono bloccato senza venirne a capo.
Non sto qui a scrivervi tutta la dimostrazione, perchè penso sia uguale più o meno su tutti i libri e venga esposto ugualmente in tutte le università; io mi sono bloccato quando ad un certo punto il libro mi afferma che:
[...] allora $y->(\bar x, y)$ è continua e strettamente crescente, e definita su tutto l'intervallo $[y_0 - \epsilon, y_0 + \epsilon]$.
Ma da cosa è data la monotonia, e da cosa è data la continuità?
Inoltre perchè è definita su tutto l'intervallo $[y_0 - \epsilon, y_0 + \epsilon]$ ?
Risposte
Non $y\to(\bar{x},y)$, ma semmai $y\toF(\bar{x},y)$
Nel teorema di Dini lavori su una funzione $F(x,y)$ che si annulla in $(x_0,y_0)$ cioè $F(x_0,y_0)=0$ ma là la derivata rispetto a $y$ è non nulla, quindi o positiva o negativa: noi la assumiamo positiva,
$F_y(x_0,y_0)>0$
$F_y$ è continua per ipotesi, visto che la $F$ di partenza è di classe $C^1$
Quindi esiste un rettangolo dove la $F_y$ si mantiene positiva (una permanenza del segno, se vuoi).
Quello che la dimostrazione fa è tenere fermo $x_0$, cioè muoversi solo lungo le $y$, per verticale, cioè considerare
$F(x_0,y)$ che a questo punto diventa una funzione ad 1 variabile, perché $x$ l'hai congelata a $x_0$ (che tu prima chiamavi $x$ barra)
Ma la derivata di tale funzione è positiva, quindi la funzione
$y\toF(\bar{x},y)$ cresce.
La sicurezza che è definita su un intervallo te la dà il fatto che prima avevamo trovato un rettangolo su cui lavorare, dove la derivata parziale fosse tutta positiva. Quindi hai un intervallo (una dimensione del rettangolo se vuoi) dove muoverti.
Ti torna? Ciao.
Nel teorema di Dini lavori su una funzione $F(x,y)$ che si annulla in $(x_0,y_0)$ cioè $F(x_0,y_0)=0$ ma là la derivata rispetto a $y$ è non nulla, quindi o positiva o negativa: noi la assumiamo positiva,
$F_y(x_0,y_0)>0$
$F_y$ è continua per ipotesi, visto che la $F$ di partenza è di classe $C^1$
Quindi esiste un rettangolo dove la $F_y$ si mantiene positiva (una permanenza del segno, se vuoi).
Quello che la dimostrazione fa è tenere fermo $x_0$, cioè muoversi solo lungo le $y$, per verticale, cioè considerare
$F(x_0,y)$ che a questo punto diventa una funzione ad 1 variabile, perché $x$ l'hai congelata a $x_0$ (che tu prima chiamavi $x$ barra)
Ma la derivata di tale funzione è positiva, quindi la funzione
$y\toF(\bar{x},y)$ cresce.
La sicurezza che è definita su un intervallo te la dà il fatto che prima avevamo trovato un rettangolo su cui lavorare, dove la derivata parziale fosse tutta positiva. Quindi hai un intervallo (una dimensione del rettangolo se vuoi) dove muoverti.
Ti torna? Ciao.
Grazie per la risposta!
In realtà il mio professore ce l'ha dimostrato in maniera un pò diversa, con gli intorni sferici e non con il rettangolo (come mi sembra che sia dimostrato sul M.S.).
Comunque vediamo se ho afferrato bene il concetto:
1) $y-> f(\bar x, y)$ è monotona, e quindi strettamente crescente, perchè abbiamo assunto la derivata $f_y(x_0, y_0)>0$;
2) $y-> f(\bar x, y)$ è continua per ipotesi perchè $f$ è per ipotesi di classe $C^1$;
3) $y-> f(\bar x, y)$ è definita su tutto l'intervallo sempre per ipotesi;
Giusto?
Ps: comunque si, intendevo $y-> f(\bar x, y)$
In realtà il mio professore ce l'ha dimostrato in maniera un pò diversa, con gli intorni sferici e non con il rettangolo (come mi sembra che sia dimostrato sul M.S.).
Comunque vediamo se ho afferrato bene il concetto:
1) $y-> f(\bar x, y)$ è monotona, e quindi strettamente crescente, perchè abbiamo assunto la derivata $f_y(x_0, y_0)>0$;
2) $y-> f(\bar x, y)$ è continua per ipotesi perchè $f$ è per ipotesi di classe $C^1$;
3) $y-> f(\bar x, y)$ è definita su tutto l'intervallo sempre per ipotesi;
Giusto?
Ps: comunque si, intendevo $y-> f(\bar x, y)$
"spartans7":
1) $y-> f(\bar x, y)$ è monotona, e quindi strettamente crescente, perchè abbiamo assunto la derivata $f_y(x_0, y_0)>0$;
2) $y-> f(\bar x, y)$ è continua per ipotesi perchè $f$ è per ipotesi di classe $C^1$;
3) $y-> f(\bar x, y)$ è definita su tutto l'intervallo sempre per ipotesi;
1) Sì, maggiore di zero però in quell'intervallo (che sappiamo esiste), non solo in quel punto.
2) ok
3)
Diciamo è definita su quell'intervallo con quelle condizioni (crescenza).
Si tratta di far vedere che un intervallo dove la F soddisfi quelle condizioni esista, e questo è quello che dicevo in 1), e segue dalla permanenza del segno.
Spero sia chiaro e di non aver detto idiozie
ma il mio professore nelle ipotesi non ha messo $f_y(x_0, y_0)>0$, ma ha messo $y->f(x,y)$ è strettamente crescente, per questo non riesco a capire molto come spiegargli perchè $y->f(\bar x, y)$ sia continua e monotona strettamente crescente...boh mi sto molto confondendo...
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