Aiutino Serie

[_Matteo_C1]

Ciao!! Ragazzi venerdì ho l'esonero di analisi! Il primo! Voglio andare benissimo!
Per questo, sono qui a chiedervi di darmi una mano.
Avrei bisogno di una mano nel determinare il carattere di serie a termini positivi: in realtà gli esercizi mi vengono (finora!), tuttavia impiego troppo tempo per decidere quale metodo utilizzare. Vorrei che qualcuno mi desse delle dritte per capire al volo quale strategia utilizzare.

Ecco ciò che abbiamo fatto in classe:
- Serie geometrica
- Teorema: successioni a termini positivi sono sempre regolari
- Criterio di convergenza: se una serie converge allora la successione associata è infinitesima (ma non viceversa)
- Criterio del confronto
- Criterio del confronto asintotico
- Serie armonica (anche generalizzata)
- Teorema d'ordine di infinitesimo
- Criterio del rapporto
- Criterio del rapporto asintotico
- Criterio della radice
- Teorema: se una successione converge assolutamente converge anche semplicemente
- Serie telescopica

Vi faccio un esempio: la mia professoressa ha detto che quando ci troviamo davanti una serie con in mezzo dei fattoriali, ci conviene subito provare ad utilizzare il criterio del rapporto asintotico, perchè permette di semplificare i fattoriali..

[Lorin1]

Beh di solito ad ogni tipo di serie si applica un criterio per la risoluzione. Posta qualche esempio se proprio vuoi delle risposte esaustive

[_Matteo_C1]

Grazie Allora adesso mi sto cimentando con queste due, e mi risultano difficili:

1) $\sum_{n=1}^(+infty) (n/(n+1))^(n^2)$

Ho provato ad applicare il criterio del rapporto asintotico. Dunque calcolo il limite:

$\lim_{n \to \infty}( ((n+1)/(n+2))^((n+1)^2) /(n/(n+1))^(n^2))$

Ma viene una cosa lunghissima! Ed inoltre il risultato mi viene sbagliato( $+infty$ ).
Con serie come questa quale metodo è meglio utilizzare?

Inoltre:

2) $\sum_{n=1}^(+infty) ((1+cos(n!))/(n+1)^2)$$*$$\sum_{n=1}^(+infty) (n^3 / e^n)$

Ho pensato di studiarle separatamente. La prima mi viene facilmente che è convergente ( maggioro $cos(n!)$ con $1$ e $(n+1)^2$ con la serie armonica generalizzata). La seconda invece mi dà problemi.. non so come affrontarla!!

Grazie mille!!

[gugo82]

Per la 1: hai provato a controllare se è verificata la condizione necessaria alla convergenza? Se non è verificata quella, che senso ha applicarei criteri di convergenza?

Per la 2: prova col criterio del rapporto o col criterio del confronto asintotico.

[_Matteo_C1]

Si la condizione necessaria alla convergenza è verificata!
Comunque penso di aver risolto la prima! Applico il criterio della radice:
$\lim_{n \to \infty} ((n/(n+1))^(n^2))^(1/n)$
$\lim_{n \to \infty}(n/(n+1))^n = \lim_{n \to \infty}1/(1+1/n)^n = 1/e$
Dunque la serie converge.

Per la seconda serie invece ci sto ancora provando..

[Paolo902]

Come ti ha già detto Gugo, per la seconda prova a usare il criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata...

[_Matteo_C1]

Grandi!! Mi è riuscita grazie per l'aiuto
Ora però è da un po che sono impantanato con quest'altra.. (ma perchè i radicali stanno antipatici al mio cervello?):
$\sum_{n=1}^(+infty) (sqrt(n^2 +1)-n)$
Secondo voi cè un metodo da prediligere con i radicali?
Inoltre: penso di aver capito che con gli esponenziali è molto utile il criterio del rapporto asintotico giusto?

[Paolo902]

Verificato che la serie è a termini positivi, io razionalizzerei il numeratore (moltiplicando e dividendo per $sqrt(n^2+1)+n$: operazione utile anche per verificare la condizione necessaria) e poi applicherei nuovamente il criterio del confronto asinotico (con la serie armonica).

Ci siamo?

[_Matteo_C1]

Grazie paolo!!! Siete dei geni !
Adesso ho davanti un esercizio più impegnativo, di un altro tipo, sempre sulle serie:


Studiare la convergenza delle seguenti serie al variare di $x\inRR$:
$\sum_{n=1}^(+infty) (x^2+1)^n/(n)$

$\lim_{n \to \infty}(x^2+1)^n/(n) = +infty hArr x!= 0$
$\lim_{n \to \infty}(x^2+1)^n/(n) = 0 hArr x = 0$

Se $x!=0$ dunque la serie è divergente, ma lo è anche se $x=0$ in quanto si riduce alla serie armonica.

E' giusto?

[_Matteo_C1]

Ragazzi mi serve una mano con un'altra serie! L'esercizio è:
Studiare la convergenza della serie al variare di $x\inRR$:
$\sum_{n=1}^(infty) {1-cos(1/n)}^x$
Io ho provato così:
Prima vedo per quali $x$ il termine ennesimo della serie non è infinitesimo:
$\lim_{n \to \infty} (1-cos(1/n))^x = 1$ se $x=0$
Lo stesso limite è uguale a $+infty$ per $x<0$.
Mentre per $x>0$ il termine ennesimo è infinitesimo. Dunque studio la convergenza per $x\in(0, +infty)$.
Allora:
${(1-cos(1/n)(1+cos(1/n))/(1-cos(1/n))}^x = {(sin(1/n))^2/(1+cos(1/n))}^x <= {(1/n)/2}^x = 1/(2^x) * 1/(n^x).$
Quest'ultima è la serie armonica, e se $x>=2$ allora sicuramente la serie converge... Ma ora mi rimane l'intervallo $0

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