AIUTATEMI! E' IMPORTANTE

[slash2]

Devo sostenere un esame a breve ma non ho capito come svolgere questo esercizio. Il caso in cui ho due semplici multifunzioni mi è chiaro ma avendo un esercizio del genere non so precisamente cosa fare!!! Tra l'altro se potete indicarmi dove posso trovare materiale sulla ricerca di massimi e minimi per funzioni di più variabili in questo contesto vi sarei enormemente grato.

L'esercizio è il seguente:

Trovare le multifunzioni di miglior risposta per il primo e secondo giocatore e gli equilibri di Nash del gioco a 2 giocatori così definito:

S1=[-1,1] S2=[1,2]

f1(x,y) = y-|x-1|^2 se x appartiene a [-1,1] e y=1 e f1(x,y) = -xy se x appartiene a [-1,1] e y appartiene ]1,2]
f2(x,y) = (x^2 -1)(y^2 - 3y)

Vi ringrazio anticipatamente!!!

[Fioravante Patrone1]

guarda che qui devi cercare massimo di una funzione di una variabile (stai cercando la best reply di uno rispetto ad una strategia data dell'altro)

queste funzioni di una variabile sono molto semplici

[slash2]

io avevo pensato di operare a questo modo:


I casi possibili per il primo giocatore sono 2, ovvero:
1) y=1
2) y appartenente a ]1,2]

Nel caso 1 la funzione rappresenta una parabola e dunque il massimo è raggiunto nel punto 0, per cui B1(y) = 0
Nel caso 2 la funzione è una retta con coefficiente angolare y; a seconda che il coefficiente angolare sia positivo, negativo o nullo ottengo:

per y>0 B1(y)= -1
per y<0 B1(y)=1
per y=0 B1(y)= -[1,1]

va bene così?

[Fioravante Patrone1]

sì, va bene

[slash2]

E se volessi utilizzare il metodo che utilizza il teorema di Fermat come dovrei operare in casi come questi dove la funzione è in valore assoluto?

[Fioravante Patrone1]

y-|x-1|^2

se non hai sbagliato a tradcrivere il testo, quello che hai è ugiuale a:

y-(x-1)^2

quindi usa pure tranquillamente Fermat, se ti serve (sono parabole! D'altronde l'hai già detto tu, per cui non capisco la perplessità)

[slash2]

L a perplessità viene dal fatto che io opero a questo modo:

a) calcolo la derivata rispetto ad una delle due variabili a seconda del giocatore
b)calcolo il valore della funzione considerata negli estremi e nel punto in cui la derivata si annulla
c) confronto le funzioni che mi escono operando come detto al passo precedente
d) poi utilizzo la funzione che mi restituisce in ogni caso (rispetto all'intervallo considerato, cioè S1 o S2 a seconda) il punto a cui corrisponde il valore massimo

Ad esempio con riferimento all'esempio precedente per il primo giocatore considero come parametro la y.
Calcolo la derivata prima rispetto alla variabile x e la eguaglio a zero ed ottengo x'= 1
Poi sostituisco i valori degli estremi dell'intervallo S1=[-1,1] e il valore ricavato attraverso la derivata, cioè x':

f1(-1,y)= y-4
f1(1,y)=y
f1(x',y)=y

una volta ottenuto ciò vedo per quali valori si ha Max [ f1(-1,y), f1(1,y), f1(x',y)] confrontando le tre funzioni