Aiutatemi con questo Taylor!!!
Per esempio x->0 $ (sen(2x)e^-x-log(1+2x))/x^3 $
se sviluppo il seno fino alla terza la e fio alla prima e il log fino alla quarta ottengo -4
se sviluppo invece la e fino alla seconda mi viene -3, come dice il libro. Ma allora qual'è la regola, cioè cosa ho fatto di sbagliato nel primo caso quando mi viene -4?
NOn ce la faccio più, da settimane faccio sti limiti senza capire come e perchè non mi vengono, e tra una settimana ho lo scritto di analisi! Ci deve essere un motivo, un'errore concettuale nel primo procedimento, altrimenti non puo avere 2 risultati! si vede che nessuno me l'ha mai spiegato, ha chi lo fa la mia eterna riconoscenza 
se sviluppo il seno fino alla terza la e fio alla prima e il log fino alla quarta ottengo -4
se sviluppo invece la e fino alla seconda mi viene -3, come dice il libro. Ma allora qual'è la regola, cioè cosa ho fatto di sbagliato nel primo caso quando mi viene -4?
NOn ce la faccio più, da settimane faccio sti limiti senza capire come e perchè non mi vengono, e tra una settimana ho lo scritto di analisi! Ci deve essere un motivo, un'errore concettuale nel primo procedimento, altrimenti non puo avere 2 risultati! si vede che nessuno me l'ha mai spiegato, ha chi lo fa la mia eterna riconoscenza
Risposte
Un buon metodo, quando si volgono questi esercizi, è sviluppare le funzioni fino ad un termine abbastanza alto e poi eliminare tutto quello che non serve. Visto che al denominatore hai una potenza $3$, conviene che sviluppi tutti i termini a numeratore (anche l'esponenziale) all'ordine $3$ o, ancor meglio, all'ordine $4$, in modo da non perdere termini. Prova.
"ciampax":
Un buon metodo, quando si volgono questi esercizi, è sviluppare le funzioni fino ad un termine abbastanza alto e poi eliminare tutto quello che non serve. Visto che al denominatore hai una potenza $3$, conviene che sviluppi tutti i termini a numeratore (anche l'esponenziale) all'ordine $3$ o, ancor meglio, all'ordine $4$, in modo da non perdere termini. Prova.
OK guarda questo lìho provato e viene, però il problema è un altro: quando non ho la soluzione con cui confrontarla e applico il procedimento come nel caso in cui ho -4, non facci onulla di sbagliato (almeno credo io) dal punto di vista matematico e ottengo un certo risultao: poi lo faccio fino ad un'altro ordine e ne ottengo un altro. Ma la regola dei limiti con Taylor l'ho applicata in entrambi i casi, non ci sono vincoli infatti all'ordine di sviluppo. qualcosa però ci deve essere di concettualmente sbaglito nel primo caso!
Sai dove credo sia il problema? Nel fatto che non sviluppi tutta la funzione esponenziale, perché se ne fai i prodotti con la funzione seno, deve darti alcuni termini necessari.
"ciampax":
Sai dove credo sia il problema? Nel fatto che non sviluppi tutta la funzione esponenziale, perché se ne fai i prodotti con la funzione seno, deve darti alcuni termini necessari.
ecco appunto. cosa intendi per necessari?
Allora:
[tex]$\sin(2x)=2x-\frac{4}{3} x^3+o(x^3),\ e^{-x}=1-x+\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{6} x^3+\frac{1}{24} x^4+o(x^3),\ \log(1+2x)=2x-2x^2+\frac{8}{3} x^3-4x^4+o(x^4)$[/tex]
per cui svolgendo i prodotti e sviluppando fino al quarto ordine (cancellando tutte l epotenze di ordine superiore) ottieni
[tex]$\left(2x-\frac{4}{3} x^3+o(x^3)\right)\left(1-x+\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{6} x^3+\frac{1}{24} x^4+o(x^3)\right)-\left(2x-2x^2+\frac{8}{3} x^3-4x^4+o(x^4)\right)=$[/tex]
[tex]$=2x-\frac{4}{3} x^3+o(x^3)-2x^2+\frac{4}{3} x^4+o(x^4)+x^3+o(x^5)-\frac{1}{3}x^4+o(x^4)-2x+2x^2-\frac{8}{3} x^3+4x^4+o(x^4)=$[/tex]
[tex]$=-3x^3+5x^4+o(x^4)$[/tex]
Come vedi nel prodotto delle prime due funzioni vanno presi alcuni termini (ad esempio il prodotto del termine di primo grado nel seno e quello di secondo e terzo grado nell'esponenziale) che sono necessari a scrivere tutti i termini (senza escluderne nessuno) delle potenze di cui hai bisogno. In questo modo vedi che il risultato dello sviluppo è "univico" (come dovrebbe essere) e che, inoltre, per quanto tu aumenti i gradi delle potenze presenti, il primo termine rimarrà sempre quel $-3x^3$, che prende il nome di parte principale della funzione. Il limite pertanto vale $-3$.
[tex]$\sin(2x)=2x-\frac{4}{3} x^3+o(x^3),\ e^{-x}=1-x+\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{6} x^3+\frac{1}{24} x^4+o(x^3),\ \log(1+2x)=2x-2x^2+\frac{8}{3} x^3-4x^4+o(x^4)$[/tex]
per cui svolgendo i prodotti e sviluppando fino al quarto ordine (cancellando tutte l epotenze di ordine superiore) ottieni
[tex]$\left(2x-\frac{4}{3} x^3+o(x^3)\right)\left(1-x+\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{6} x^3+\frac{1}{24} x^4+o(x^3)\right)-\left(2x-2x^2+\frac{8}{3} x^3-4x^4+o(x^4)\right)=$[/tex]
[tex]$=2x-\frac{4}{3} x^3+o(x^3)-2x^2+\frac{4}{3} x^4+o(x^4)+x^3+o(x^5)-\frac{1}{3}x^4+o(x^4)-2x+2x^2-\frac{8}{3} x^3+4x^4+o(x^4)=$[/tex]
[tex]$=-3x^3+5x^4+o(x^4)$[/tex]
Come vedi nel prodotto delle prime due funzioni vanno presi alcuni termini (ad esempio il prodotto del termine di primo grado nel seno e quello di secondo e terzo grado nell'esponenziale) che sono necessari a scrivere tutti i termini (senza escluderne nessuno) delle potenze di cui hai bisogno. In questo modo vedi che il risultato dello sviluppo è "univico" (come dovrebbe essere) e che, inoltre, per quanto tu aumenti i gradi delle potenze presenti, il primo termine rimarrà sempre quel $-3x^3$, che prende il nome di parte principale della funzione. Il limite pertanto vale $-3$.
ohhh finalmente ci siamo, quindi in poche parole devo sviluppare fino alla potenza del denominatore (o anche superiore ma tanto si elimina tendendo a zero). perfetto grazie mille mi hai salvato!
Prego, figurati. Con Taylor è una questione di farsi l'occhio.
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