Affermazioni sul dominio di una funzione in 2 variabili
Ho disegnato il dominio della funzione
{abs(x + y)>=y^2, x^2<1}
Lo sottopongo alla vostra attenzione prima di tutto per capire se l'ho disegnato bene. Nell'esercizio si chiede di dire quali affermazioni sono vere:
1)(-1;0) appartiene alla chiusura di D (secondo me è vera)
2)La frontiera di D contiene il punto (0,1) (secondo me è vera)
3)D è aperto (Secondo me è vera perchè per essere chiuso le rette verticali x=-1 e x=1 dovrebbero essere comprese ma dato che nascono da una disuguaglianza stretta non lo sono. CIoè io so che per essere chiuso bisogna contenga anche tutto il suo bordo...)
4)Il complementare di D è limitato (per me è falsa)
5)(0,-1) è un punto interno a D (per me è falsa perchè sta sulla frontiera di D)
6)D contiene una semiretta (su questa non so rispondere)
Oltre a questo in parole povere e informali potreste spiegarmi cosa significa aperto, chiuso, limitato e illimitato? Per me aperto e chiuso signfica che non contiene o contiene la frontiera... mi sbaglio?
Ringrazio chiunque mi risponda, ho fatto molti esercizi ma queste domandine mi sono ostiche.
{abs(x + y)>=y^2, x^2<1}
Lo sottopongo alla vostra attenzione prima di tutto per capire se l'ho disegnato bene. Nell'esercizio si chiede di dire quali affermazioni sono vere:
1)(-1;0) appartiene alla chiusura di D (secondo me è vera)
2)La frontiera di D contiene il punto (0,1) (secondo me è vera)
3)D è aperto (Secondo me è vera perchè per essere chiuso le rette verticali x=-1 e x=1 dovrebbero essere comprese ma dato che nascono da una disuguaglianza stretta non lo sono. CIoè io so che per essere chiuso bisogna contenga anche tutto il suo bordo...)
4)Il complementare di D è limitato (per me è falsa)
5)(0,-1) è un punto interno a D (per me è falsa perchè sta sulla frontiera di D)
6)D contiene una semiretta (su questa non so rispondere)
Oltre a questo in parole povere e informali potreste spiegarmi cosa significa aperto, chiuso, limitato e illimitato? Per me aperto e chiuso signfica che non contiene o contiene la frontiera... mi sbaglio?
Ringrazio chiunque mi risponda, ho fatto molti esercizi ma queste domandine mi sono ostiche.
Risposte
Senza entrare troppo nei dettagli delle definizioni, che credo tu abbia già visto, per "visualizzare" un insieme in questi casi, se è:
- aperto: non deve avere punti di frontiera
- chiuso: deve avere tutti i punti di frontiera (è il complementare di un aperto)
- né aperto né chiuso: deve contenere qualche punto di frontiera MA NON tutti
- limitato: se puoi metterlo dentro a un disco (o palla in più dimensioni) di un certo raggio (finito); in $\mathbb{R}^2$ lo visualizzi dal fatto che ha un'estensione finita, come nel caso di quei due segmenti parabolici
- illimitato: se non è limitato, quindi ci sono parti che vanno a infinito
Venendo alle tue risposte:
1) Giusto, perché appartiene alla frontiera
2) Giusto, perché la parabola è parte della frontiera
3) Sbagliato, non è né aperto né chiuso: non è aperto perché contiene parte della frontiera (le due parabole) ma non è chiuso perché non contiene tutta la frontiera (non contiene le due rette verticali)
4) Giusto, perché $D$ è limitato, quindi non c'è verso che il suo complementare $\mathbb{R}^2 \setminus D$ lo sia ($\mathbb{R}^2$ è illimitato ovviamente)
5) Giusto, per la ragione che hai detto
6) Non può contenere una semiretta perché è un dominio limitato, ma una semiretta è illimitata (da una parte se ne va a infinito)
- aperto: non deve avere punti di frontiera
- chiuso: deve avere tutti i punti di frontiera (è il complementare di un aperto)
- né aperto né chiuso: deve contenere qualche punto di frontiera MA NON tutti
- limitato: se puoi metterlo dentro a un disco (o palla in più dimensioni) di un certo raggio (finito); in $\mathbb{R}^2$ lo visualizzi dal fatto che ha un'estensione finita, come nel caso di quei due segmenti parabolici
- illimitato: se non è limitato, quindi ci sono parti che vanno a infinito
Venendo alle tue risposte:
1) Giusto, perché appartiene alla frontiera
2) Giusto, perché la parabola è parte della frontiera
3) Sbagliato, non è né aperto né chiuso: non è aperto perché contiene parte della frontiera (le due parabole) ma non è chiuso perché non contiene tutta la frontiera (non contiene le due rette verticali)
4) Giusto, perché $D$ è limitato, quindi non c'è verso che il suo complementare $\mathbb{R}^2 \setminus D$ lo sia ($\mathbb{R}^2$ è illimitato ovviamente)
5) Giusto, per la ragione che hai detto
6) Non può contenere una semiretta perché è un dominio limitato, ma una semiretta è illimitata (da una parte se ne va a infinito)
Grazie mille, magari spiegassero le cose così chiaramente 
Figurati 
Vediamo se ho capito con quest'altra funzione
y^2-x^2<=0,x^2-2<=Y
Ho disegnato il dominio
il vertice della parabola è in (0;-2).
Le affermazioni sono:
1)D è limitato (direi proprio di si)
2)La chiusura di D non è limitata (è falso)
3)(0;0) è un punto interno al complementare di D (no, è un punto di D non del suo complementare)
4)(0;-3) appartiene a D (no, cade fuori)
5)il complementare di D è limitato (no, perchè D è limitato)
y^2-x^2<=0,x^2-2<=Y
Ho disegnato il dominio
il vertice della parabola è in (0;-2).
Le affermazioni sono:
1)D è limitato (direi proprio di si)
2)La chiusura di D non è limitata (è falso)
3)(0;0) è un punto interno al complementare di D (no, è un punto di D non del suo complementare)
4)(0;-3) appartiene a D (no, cade fuori)
5)il complementare di D è limitato (no, perchè D è limitato)
Corretto
Grazie mille
Figurati 
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