Adimensionalizzazione
Salve ragazzi, devo semplificare la seguente equazione :
$X_F=F_0*sqrt((k-m\omega^2)^2+\sigma^2*\omega^2)$
adimensionallizzando $\omega$ rispetto ad $\omega_n$ e $\sigma$ rispetto a $\sigma_c$
dove $\omega_n=sqrt(k/m)$ e $\sigma_c=2*sqrt(k*m)$.
Ho svolto il tutto nel modo seguente :
introduco i termini adimensionali $\beta=(\omega/\omega_n)$ e $\gamma=(\sigma/\sigma_c)$
da cui ricavo $\omega=\beta*\omega_n$ e $\sigma=\gamma*\sigma_c$
ora sostituisco i valori così ricavati nell'espressione e sostituendo i valori di $\omega_n$ e $\sigma_c$ ottengo
$X_F=F_0*sqrt((k-\beta^2*k)^2+\gamma^2*4*k^2*\beta^2)$
mettendo in evidenza $k^2$ sotto la radice e portandolo poi fuori dal segno di radice stessa ottengo
$X_F=F_0*k*sqrt((1-\beta^2)^2+(2*\gamma*\beta)^2)$
________________________________________________________________________________________________
Il problema è che ora come risultato dovrei ottenere
$X_F=F_0/k*(1/(sqrt((1-\beta^2)^2+(2*\gamma*\beta)^2)))$
come posso arrivare al risultato ?
$X_F=F_0*sqrt((k-m\omega^2)^2+\sigma^2*\omega^2)$
adimensionallizzando $\omega$ rispetto ad $\omega_n$ e $\sigma$ rispetto a $\sigma_c$
dove $\omega_n=sqrt(k/m)$ e $\sigma_c=2*sqrt(k*m)$.
Ho svolto il tutto nel modo seguente :
introduco i termini adimensionali $\beta=(\omega/\omega_n)$ e $\gamma=(\sigma/\sigma_c)$
da cui ricavo $\omega=\beta*\omega_n$ e $\sigma=\gamma*\sigma_c$
ora sostituisco i valori così ricavati nell'espressione e sostituendo i valori di $\omega_n$ e $\sigma_c$ ottengo
$X_F=F_0*sqrt((k-\beta^2*k)^2+\gamma^2*4*k^2*\beta^2)$
mettendo in evidenza $k^2$ sotto la radice e portandolo poi fuori dal segno di radice stessa ottengo
$X_F=F_0*k*sqrt((1-\beta^2)^2+(2*\gamma*\beta)^2)$
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Il problema è che ora come risultato dovrei ottenere
$X_F=F_0/k*(1/(sqrt((1-\beta^2)^2+(2*\gamma*\beta)^2)))$
come posso arrivare al risultato ?
Risposte
Prova a "derazionalizzare" la radice, tenendo presente che \(\sqrt{a^2+b^2} = \frac{a^2+b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\)... Ma comunque il risultato mi pare strano.
Ho dimenticato di scriverlo , ma ho già provato a derazionalizzare la radice ma non riesco ad ottenere quel risultato, o meglio ottengo la radice al denominatore ma non saprei come far sparire tutto quel termine al numeratore
$X_F=F_0*k*(((1-\beta^2)^2+(2*\gamma*\beta)^2)/(sqrt((1-\beta^2)^2+(2*\gamma*\beta)^2)))$
ho provato anche risostituendo (al numeratore) i valori di $\gamma$ , $\beta$ ,$\omega_n$ e $\sigma_c$ ma non riesco ad avere quel risultato.
Non so se può essere utile dire che si tratta di alcuni passaggi per riscrivere l'integrale generale della legge di moto per vibrazioni smorzate con forzante!
$X_F=F_0*k*(((1-\beta^2)^2+(2*\gamma*\beta)^2)/(sqrt((1-\beta^2)^2+(2*\gamma*\beta)^2)))$
ho provato anche risostituendo (al numeratore) i valori di $\gamma$ , $\beta$ ,$\omega_n$ e $\sigma_c$ ma non riesco ad avere quel risultato.
Non so se può essere utile dire che si tratta di alcuni passaggi per riscrivere l'integrale generale della legge di moto per vibrazioni smorzate con forzante!
A questo punto, potrebbe essere utile dire esplicitamente qual è la EDO.
Non è che tra i vari \(\gamma\), \(\beta \) e \(k\) c'è qualche relazione?
Non è che tra i vari \(\gamma\), \(\beta \) e \(k\) c'è qualche relazione?
Le relazioni sono :
$\omega_n=sqrt(k/m)$ e $\sigma_c=2*sqrt(k*m)$
e
$\beta=(\omega/\omega_n)$ e $\gamma=(\sigma/\sigma_c)$
Con la derazionalizzazione ritrovo il denominatore corretto ma al numeratore dovrebbe uscire solo $F_0$ come faccio ?
$\omega_n=sqrt(k/m)$ e $\sigma_c=2*sqrt(k*m)$
e
$\beta=(\omega/\omega_n)$ e $\gamma=(\sigma/\sigma_c)$
Con la derazionalizzazione ritrovo il denominatore corretto ma al numeratore dovrebbe uscire solo $F_0$ come faccio ?
Non fai.
Qual è la EDO?
Qual è la EDO?
Scusa l'ignoranza che cos'è la EDO ?
Equazione Differenziale Ordinaria.
L'equazione è :
$m*(d^2x)/(dt^2)+\sigma*(dx/dt)+kx=F_0cos(\omega*t)$
di questa equazione ho già calcolato la soluzione del moto libero e mi ritrovo con il risultato del libro
nel calcolare la soluzione del moto forzato (o soluzione particolare) il libro mi dice che sarà del tipo :
$x_(f)(t)=X_f*cos(\omega*t-\phi)$
derivando due volte tale equazione - sostituendola nell'equazione del moto
- particolarizzandola per $t=\phi/\omega$ e $t=(\pi/2+\phi)/\omega$
si ottengono due relazioni :
$X_f*(k-m\omega^2)=F_0 cos(\phi)$
e
$-\sigma*\omega*X_f=-F_0sen(\phi)$
da cui quadrando e sommando membro a membro si ottiene
$X_F=F_0*sqrt((k-m\omega^2)^2+\sigma^2*\omega^2)$
da qui in poi il libro mi dice solo che adimensionalizzando $\omega$ rispetto $w_(n)=sqrt(k/m)$ e $\sigma$ rispetto $\sigma_c=2sqrt(km)$ ottengo quel risultato......
$m*(d^2x)/(dt^2)+\sigma*(dx/dt)+kx=F_0cos(\omega*t)$
di questa equazione ho già calcolato la soluzione del moto libero e mi ritrovo con il risultato del libro
nel calcolare la soluzione del moto forzato (o soluzione particolare) il libro mi dice che sarà del tipo :
$x_(f)(t)=X_f*cos(\omega*t-\phi)$
derivando due volte tale equazione - sostituendola nell'equazione del moto
- particolarizzandola per $t=\phi/\omega$ e $t=(\pi/2+\phi)/\omega$
si ottengono due relazioni :
$X_f*(k-m\omega^2)=F_0 cos(\phi)$
e
$-\sigma*\omega*X_f=-F_0sen(\phi)$
da cui quadrando e sommando membro a membro si ottiene
$X_F=F_0*sqrt((k-m\omega^2)^2+\sigma^2*\omega^2)$
da qui in poi il libro mi dice solo che adimensionalizzando $\omega$ rispetto $w_(n)=sqrt(k/m)$ e $\sigma$ rispetto $\sigma_c=2sqrt(km)$ ottengo quel risultato......
"frenky46":
si ottengono due relazioni :
$X_f*(k-m\omega^2)=F_0 cos(\phi)$
e
$-\sigma*\omega*X_f=-F_0sen(\phi)$
da cui quadrando e sommando membro a membro si ottiene
$X_F=F_0*sqrt((k-m\omega^2)^2+\sigma^2*\omega^2)$
Piuttosto direi che si ottiene:
\[
X_f^2 = \frac{F_0^2}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2 +\sigma^2\omega^2}}\ldots
\]
O no?
Non avevo fatto questo passaggio in quanto stava fatto sul libro , rifacendolo io ottengo
$X_(f)=F_(0)/(sqrt((k-m\omega^2)^2+\sigma^2*\omega^2))$
Da cui adimensionalizzando come detto in precedenza ottengo il risultato voluto.
Ti ringrazio dell'aiuto , purtroppo è stata una mia disattenzione ma un "errore del libro".
Capita anche questo.....grazie ancora
$X_(f)=F_(0)/(sqrt((k-m\omega^2)^2+\sigma^2*\omega^2))$
Da cui adimensionalizzando come detto in precedenza ottengo il risultato voluto.
Ti ringrazio dell'aiuto , purtroppo è stata una mia disattenzione ma un "errore del libro".
Capita anche questo.....grazie ancora
Beh, sì, scusa... Ho battuto dei quadrati di troppo.
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