Accumulazione
Cos'è l'accumulazione in matematica ?
Risposte
Ogni "termine tecnico", in matematica, ha una definizione rigorosa (almeno, fino ai termini primitivi) e, spesso, la scelta del nome da attribuire al termine è collegata al linguaggio comune, con la motivazione, utile, di catturarne intuitivamente il significato tramite la nostra esperienza quotidiana (come, appunto, l'uso del termine "accumulazione" nel termine tecnico "punto di accumulazione"); ciò non succede sempre, vedi ad esempio i termini tecnici "insieme aperto" e "insieme chiuso". Essi sembrano antinomie, ma non lo sono in quanto esistono insiemi sia aperti che chiusi ed esistono insiemi né aperti né chiusi.
Quindi, purtroppo, credo che non si possa rispondere alla tua domanda se non dai più dettagli. Ti andrebbe di esplicitare di più?
Quindi, purtroppo, credo che non si possa rispondere alla tua domanda se non dai più dettagli. Ti andrebbe di esplicitare di più?
ah, ok logico.
nello specifico punto di accumulazione, quindi credo anche intorno,
esempio: trovare tutti i punti di accumulazione di un intervallo $I sube RR$ di estremi $a
nello specifico punto di accumulazione, quindi credo anche intorno,
esempio: trovare tutti i punti di accumulazione di un intervallo $I sube RR$ di estremi $a
"DR1":
e come si arriva al concetto di limite, che presuppone che $x_0$ sia punto di accumulazione di $f$, quindi nel calcolo dei limiti, devo prima verificare che $x_0$ sia effettivamente punto di accumulazione di $f$ ?
$f$?
Come ti ha correttamente fatto notare ghira, i punti di accumulazioni si definiscono rispetto a degli insiemi. Ossia, dato un insieme $A$ si dice che "$x_0$ punto di accumulazione di $A$". Perciò dire punto di accumulazione per una funzione non ha alcun significato, al più potrebbe averlo in riferimento alla sua immagine (che è, appunto, un insieme).
Un altro problema è che se $x_0$ non è punto di accumulazione per $A$, allora l'implicazione della definizione di limite funzionale nel caso di limite $L$ reale è sempre vera (perché la premessa è falsa); perciò ogni funzione ha ogni limite reale e ciò non è molto sensato.
Inoltre, quando si definisce il concetto di limite funzionale si vuole formalizzare anche il concetto di "avvicinarsi indefinitamente" ad un certo punto $x_0$ escludendo la possibilità che tale punto sia raggiunto e, affinché ciò sia possibile, bisogna assumere che sia sempre possibile trovare, in un intorno di $x_0$, almeno un punto di $A$. Infatti, il punto di accumulazione è proprio definito come segue: $x_0$ si dice di accumulazione per $A$ se $\forall \varepsilon>0 \exists x_\epsilon \in A \ \text{t.c.} \ x_\epsilon \in (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) \setminus \{x_0\}$.
Quindi non è che va verificato, è che non ha proprio senso parlare di limite funzionale se il punto che sta tendendo verso qualche altro punto non tende verso un punto di accumulazione; che significa, per $n \in \mathbb{N}$, che $n$ si avvicina indefinitamente a $2$ non potendo essere $2$? Dato che ogni coppia di naturali ha almeno uno "scarto discreto" ampio $1$, non ci si può avvicinare indefinitamente ad un naturale con un naturale. Non a caso, per le successioni i limiti si fanno solo per $n \to \infty$ (infatti, la definizione di punto di accumulazione $\infty$ è un po' diversa da quella data prima ed è soddisfatta anche per i naturali quando $n \to \infty$).
Un altro problema è che se $x_0$ non è punto di accumulazione per $A$, allora l'implicazione della definizione di limite funzionale nel caso di limite $L$ reale è sempre vera (perché la premessa è falsa); perciò ogni funzione ha ogni limite reale e ciò non è molto sensato.
Inoltre, quando si definisce il concetto di limite funzionale si vuole formalizzare anche il concetto di "avvicinarsi indefinitamente" ad un certo punto $x_0$ escludendo la possibilità che tale punto sia raggiunto e, affinché ciò sia possibile, bisogna assumere che sia sempre possibile trovare, in un intorno di $x_0$, almeno un punto di $A$. Infatti, il punto di accumulazione è proprio definito come segue: $x_0$ si dice di accumulazione per $A$ se $\forall \varepsilon>0 \exists x_\epsilon \in A \ \text{t.c.} \ x_\epsilon \in (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) \setminus \{x_0\}$.
Quindi non è che va verificato, è che non ha proprio senso parlare di limite funzionale se il punto che sta tendendo verso qualche altro punto non tende verso un punto di accumulazione; che significa, per $n \in \mathbb{N}$, che $n$ si avvicina indefinitamente a $2$ non potendo essere $2$? Dato che ogni coppia di naturali ha almeno uno "scarto discreto" ampio $1$, non ci si può avvicinare indefinitamente ad un naturale con un naturale. Non a caso, per le successioni i limiti si fanno solo per $n \to \infty$ (infatti, la definizione di punto di accumulazione $\infty$ è un po' diversa da quella data prima ed è soddisfatta anche per i naturali quando $n \to \infty$).
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