AC e teorema fondamentale del Calcolo
Buonasera a tutti.
Mi sembrava che ne avessimo parlato una volta, ma non trovo più la discussione. Dunque, se non ricordo male una versione del teorema fondamentale del Calcolo integrale è la seguente.
Teorema. Sia $f: (a,b) \subseteq \RR \to \RR$ una funzione continua. Preso $x_{0} \in (a,b)$, si ha che la funzione integrale $F: (a,b) \to \RR$ con $x \mapsto F(x):=\int_{a}^{x} f(t)\text{d}t$ è derivabile $\forall x \in (a,b)$ e vale $F'(x)=f(x)$, $\forall x \in X$.
Oggi stavo rivedendo in maniera un po' rigorosa alcune cose sull'Assioma della Scelta (AC), argomento sul quale devo confessare non mi sono mai soffermato a sufficienza (ed è decisamente ora che mi metta a studiare seriamente).
Allora, la domanda è: dove e come viene usato l'assioma della scelta in questa dimostrazione? Ho capito che la questione si pone quando applico il th. della media, quando scrivo che esiste un $c$ tale che...: insomma, potrebbero esserci più valori di $c$ che mi vanno bene. Come si ovvia a questo problema con l'AC? Vi chiederei gentilmente di essere estremamente pignoli e dettagliati, vorrei capire una volta per tutte come funziona la faccenda.
Infine, una domanda che mi sorge adesso: evidentemente l'AC implica il TFC. Vale il viceversa? Cioè sono equivalenti?
Forse no, perchè esistono dimostrazioni del teorema fondamentale che non usano la media integrale...
Grazie in anticipo per i chiarimenti.
Mi sembrava che ne avessimo parlato una volta, ma non trovo più la discussione. Dunque, se non ricordo male una versione del teorema fondamentale del Calcolo integrale è la seguente.
Teorema. Sia $f: (a,b) \subseteq \RR \to \RR$ una funzione continua. Preso $x_{0} \in (a,b)$, si ha che la funzione integrale $F: (a,b) \to \RR$ con $x \mapsto F(x):=\int_{a}^{x} f(t)\text{d}t$ è derivabile $\forall x \in (a,b)$ e vale $F'(x)=f(x)$, $\forall x \in X$.
Oggi stavo rivedendo in maniera un po' rigorosa alcune cose sull'Assioma della Scelta (AC), argomento sul quale devo confessare non mi sono mai soffermato a sufficienza (ed è decisamente ora che mi metta a studiare seriamente).
Allora, la domanda è: dove e come viene usato l'assioma della scelta in questa dimostrazione? Ho capito che la questione si pone quando applico il th. della media, quando scrivo che esiste un $c$ tale che...: insomma, potrebbero esserci più valori di $c$ che mi vanno bene. Come si ovvia a questo problema con l'AC? Vi chiederei gentilmente di essere estremamente pignoli e dettagliati, vorrei capire una volta per tutte come funziona la faccenda.
Infine, una domanda che mi sorge adesso: evidentemente l'AC implica il TFC. Vale il viceversa? Cioè sono equivalenti?
Forse no, perchè esistono dimostrazioni del teorema fondamentale che non usano la media integrale...
Grazie in anticipo per i chiarimenti.
Risposte
L'assioma della scelta è un assioma utilizzato nella teoria degli insiemi che dice (lo dico senza simboli):
Dato una famiglia di insiemi I, che potremmo esplicitare come un insieme che ha per elementi altri insiemi, esiste una funzione che ad ogni insieme di questa famiglia (dunque ad ogni elemento di I) fa corrispondere un oggetto/elemento presente nell'insieme corrispondente.
Dunque se I = { A, B, C...} f : I -> H è del tipo f(A) = 1 dove 1 è un elemento SCELTO in A e presente nel dunque codominio H.
A questo punto posso pensare che l'assioma della scelta permetta nella dimostrazione il seguente ragionamento: la dimostrazione non guarda a tutta la funzione integrale ma punto per punto, infatti tu stai dimostrando che, preso un punto arbitrario Xo in (a, b) la derivata della funzione integrale sia proprio la funzione integranda calcolata in Xo.
Dunque potremmo pensare questo: dato l'insieme aperto (a,b) e preso un punto Xo alla volta utile alla dimostrazione il teorema della media implica che esista un punto C nell'intervallo (Xo, X) tale che derivi la tesi che vogliamo; in pratica la famiglia di insiemi che consideriamo sono degli insiemi del tipo (Xo, X) di cui scegliamo quel C tale che derivi la tesi, ogni volta che prendiamo in considerazione un Xo differente. Dunque esiste una funzione che va dall'insieme I contenente questi intervalli in H contenente i valori C scelti, e questo insieme (infinito di valori) sarà l'insieme di tutti i valori della derivata della funzione integrale...
Il perchè dell'assioma della scelta non è propriamente semplice da spiegare, però detto terra terra è utile per quando proponiamo di avere una famiglia infinita di insiemi. Ora se questi insiemi hanno cardinalità diverse, oppure hanno infiniti elementi, e magari non c'è alcun modo per formalizzare una funzione tale che "scelga" in automatico gli elementi di questi insiemi verso un codominio è da invocare l'assioma della scelta!. L'esempio su wikipedia è il seguente: ho un'infinità di paia di scarpe, potrei scegliere in automatico tutte le scarpe destre, o tutte le sinistre e formalizzare l'insieme delle scarpe destre o l'insieme delle scarpe sinistre. Ma se volessi formalizzare l'insieme di scarpe prese una alla volta (prima sinistra, poi destra, ecc.) come faccio? Beh dico che ciò è possibile per l'assioma della scelta, ed è possibile anche per insiemi con infiniti elementi.
Fino a prova contraria dovrebbe essere così... degli esperti in materia che sappiano formalizzare il tutto con formule, simboli e quant'altro, se ci fossero, si faranno avanti! Ciao
Dato una famiglia di insiemi I, che potremmo esplicitare come un insieme che ha per elementi altri insiemi, esiste una funzione che ad ogni insieme di questa famiglia (dunque ad ogni elemento di I) fa corrispondere un oggetto/elemento presente nell'insieme corrispondente.
Dunque se I = { A, B, C...} f : I -> H è del tipo f(A) = 1 dove 1 è un elemento SCELTO in A e presente nel dunque codominio H.
A questo punto posso pensare che l'assioma della scelta permetta nella dimostrazione il seguente ragionamento: la dimostrazione non guarda a tutta la funzione integrale ma punto per punto, infatti tu stai dimostrando che, preso un punto arbitrario Xo in (a, b) la derivata della funzione integrale sia proprio la funzione integranda calcolata in Xo.
Dunque potremmo pensare questo: dato l'insieme aperto (a,b) e preso un punto Xo alla volta utile alla dimostrazione il teorema della media implica che esista un punto C nell'intervallo (Xo, X) tale che derivi la tesi che vogliamo; in pratica la famiglia di insiemi che consideriamo sono degli insiemi del tipo (Xo, X) di cui scegliamo quel C tale che derivi la tesi, ogni volta che prendiamo in considerazione un Xo differente. Dunque esiste una funzione che va dall'insieme I contenente questi intervalli in H contenente i valori C scelti, e questo insieme (infinito di valori) sarà l'insieme di tutti i valori della derivata della funzione integrale...
Il perchè dell'assioma della scelta non è propriamente semplice da spiegare, però detto terra terra è utile per quando proponiamo di avere una famiglia infinita di insiemi. Ora se questi insiemi hanno cardinalità diverse, oppure hanno infiniti elementi, e magari non c'è alcun modo per formalizzare una funzione tale che "scelga" in automatico gli elementi di questi insiemi verso un codominio è da invocare l'assioma della scelta!. L'esempio su wikipedia è il seguente: ho un'infinità di paia di scarpe, potrei scegliere in automatico tutte le scarpe destre, o tutte le sinistre e formalizzare l'insieme delle scarpe destre o l'insieme delle scarpe sinistre. Ma se volessi formalizzare l'insieme di scarpe prese una alla volta (prima sinistra, poi destra, ecc.) come faccio? Beh dico che ciò è possibile per l'assioma della scelta, ed è possibile anche per insiemi con infiniti elementi.
Fino a prova contraria dovrebbe essere così... degli esperti in materia che sappiano formalizzare il tutto con formule, simboli e quant'altro, se ci fossero, si faranno avanti! Ciao
Ciao.
Innanzitutto, ti ringrazio per l'interessamento e la risposta.
Sì, l'enunciato lo conosco e ho studiato anche un po' di enunciati equivalenti (anche se sono veramente tanti!).
Capisco. Ti seguo perfettamente nella prima parte e il ragionamento che fai mi convince abbastanza. Ma poi mi perdo quando dici, nel finale, che "questo insieme [...] sarà l'insieme di tutti i valori della derivata"; in particolare, non capisco bene chi è $H$... Probabilmente devo solo formalizzare il discorso, così a parole mi è difficile afferrare la questione.
Sì, anche queste cose le avevo già studiate. Per approfondire la questione, si può leggere qui (il prof. Lolli è un'autorità in Logica) e qui (una magistrale spiegazione di gugo sull'esempio che proponi).
Grazie ancora per il tuo intervento.
Innanzitutto, ti ringrazio per l'interessamento e la risposta.
"Simonixx":
L'assioma della scelta è un assioma utilizzato nella teoria degli insiemi che dice (lo dico senza simboli):
Dato una famiglia di insiemi I, che potremmo esplicitare come un insieme che ha per elementi altri insiemi, esiste una funzione che ad ogni insieme di questa famiglia (dunque ad ogni elemento di I) fa corrispondere un oggetto/elemento presente nell'insieme corrispondente.
Dunque se I = { A, B, C...} f : I -> H è del tipo f(A) = 1 dove 1 è un elemento SCELTO in A e presente nel dunque codominio H.
Sì, l'enunciato lo conosco e ho studiato anche un po' di enunciati equivalenti (anche se sono veramente tanti!).
"Simonixx":
A questo punto posso pensare che l'assioma della scelta permetta nella dimostrazione il seguente ragionamento: la dimostrazione non guarda a tutta la funzione integrale ma punto per punto, infatti tu stai dimostrando che, preso un punto arbitrario Xo in (a, b) la derivata della funzione integrale sia proprio la funzione integranda calcolata in Xo.
Dunque potremmo pensare questo: dato l'insieme aperto (a,b) e preso un punto Xo alla volta utile alla dimostrazione il teorema della media implica che esista un punto C nell'intervallo (Xo, X) tale che derivi la tesi che vogliamo; in pratica la famiglia di insiemi che consideriamo sono degli insiemi del tipo (Xo, X) di cui scegliamo quel C tale che derivi la tesi, ogni volta che prendiamo in considerazione un Xo differente. Dunque esiste una funzione che va dall'insieme I contenente questi intervalli in H contenente i valori C scelti, e questo insieme (infinito di valori) sarà l'insieme di tutti i valori della derivata della funzione integrale...
Capisco. Ti seguo perfettamente nella prima parte e il ragionamento che fai mi convince abbastanza. Ma poi mi perdo quando dici, nel finale, che "questo insieme [...] sarà l'insieme di tutti i valori della derivata"; in particolare, non capisco bene chi è $H$... Probabilmente devo solo formalizzare il discorso, così a parole mi è difficile afferrare la questione.
"Simonixx":
Il perchè dell'assioma della scelta non è propriamente semplice da spiegare, però detto terra terra è utile per quando proponiamo di avere una famiglia infinita di insiemi. Ora se questi insiemi hanno cardinalità diverse, oppure hanno infiniti elementi, e magari non c'è alcun modo per formalizzare una funzione tale che "scelga" in automatico gli elementi di questi insiemi verso un codominio è da invocare l'assioma della scelta!. L'esempio su wikipedia è il seguente: ho un'infinità di paia di scarpe, potrei scegliere in automatico tutte le scarpe destre, o tutte le sinistre e formalizzare l'insieme delle scarpe destre o l'insieme delle scarpe sinistre. Ma se volessi formalizzare l'insieme di scarpe prese una alla volta (prima sinistra, poi destra, ecc.) come faccio? Beh dico che ciò è possibile per l'assioma della scelta, ed è possibile anche per insiemi con infiniti elementi.
Sì, anche queste cose le avevo già studiate. Per approfondire la questione, si può leggere qui (il prof. Lolli è un'autorità in Logica) e qui (una magistrale spiegazione di gugo sull'esempio che proponi).
Grazie ancora per il tuo intervento.
Quella parte se non si capisce la cerco di formalizzare così:
la funzione F: I = {(Xo, X) : Xo € (a, b)} ------> H={ c: sono gli elementi c € (Xo, X) tali che soddisfano la tesi del teorema della media per ogni intervallo uno alla volta}
In effetti mi sono sbagliato a scrivere che H è l'insieme dei valori della derivata della funzione integrale: è l'insieme dei valori c che soddisfano il teorema della media dal quale giungono poi i valori f(c) che sono i valori della derivata della funzione integrale in un punto Xo. (spero di non sbagliarmi ancora xD)
Ecco, ora non so se il punto C descritto dal teorema della media sia unico o meno, però anche se fossero più di uno, per l'assioma della scelta posso comunque sceglierne uno arbitrariamente su tutti i presenti.
Comunque l'altra domanda è anche interessante e l'ho letta solo adesso! ... discerne un pò dalla sola logica: bisogna vedere se la teoria da cui discende TFC è basata su AC, o esistono modi non basati su essa. Ma conta che la matematica è basata anche su AC, considerato sempre vero;
guardiamo in logica l'altra implicazione, TFC implica AC:
TFC -> AC ----> AC è sempre vero poichè assioma. Quindi l'implicazione è sempre vera, a prescindere dalla verità o falsità del nostro TFC. Quindi non ci interessa minimamente cosa faccia TFC, se sia vero o non vero. (questo è un discorso a priori, noi sappiamo che TFC è vero, ma non sappiamo se la teoria cui è sviluppato sia dipendente o meno da AC)
Per l'altra implicazione, quindi, non saprei dirti molto...
la funzione F: I = {(Xo, X) : Xo € (a, b)} ------> H={ c: sono gli elementi c € (Xo, X) tali che soddisfano la tesi del teorema della media per ogni intervallo uno alla volta}
In effetti mi sono sbagliato a scrivere che H è l'insieme dei valori della derivata della funzione integrale: è l'insieme dei valori c che soddisfano il teorema della media dal quale giungono poi i valori f(c) che sono i valori della derivata della funzione integrale in un punto Xo. (spero di non sbagliarmi ancora xD)
Ecco, ora non so se il punto C descritto dal teorema della media sia unico o meno, però anche se fossero più di uno, per l'assioma della scelta posso comunque sceglierne uno arbitrariamente su tutti i presenti.
Comunque l'altra domanda è anche interessante e l'ho letta solo adesso! ... discerne un pò dalla sola logica: bisogna vedere se la teoria da cui discende TFC è basata su AC, o esistono modi non basati su essa. Ma conta che la matematica è basata anche su AC, considerato sempre vero;
guardiamo in logica l'altra implicazione, TFC implica AC:
TFC -> AC ----> AC è sempre vero poichè assioma. Quindi l'implicazione è sempre vera, a prescindere dalla verità o falsità del nostro TFC. Quindi non ci interessa minimamente cosa faccia TFC, se sia vero o non vero. (questo è un discorso a priori, noi sappiamo che TFC è vero, ma non sappiamo se la teoria cui è sviluppato sia dipendente o meno da AC)
Per l'altra implicazione, quindi, non saprei dirti molto...
Grazie nuovamente per il tuo intervento. La formalizzazione è decisamente migliore e credo di aver capito che cosa intendi.
Questo è proprio il punto nevralgico, credo. E credo proprio tu abbia ragione.
Anzitutto, il teorema è un teorema di esistenza, nel senso che dice che esiste un siffatto punto, ma non dice né come trovarlo né si esprime circa l'unicità. Comunque, dovrebbe essere facile convincersi che il punto $c$ non è necessariamente unico (sto pensando al controesempio idiota, la funzione identicamente nulla su un $(a,b) \subseteq \RR$; sono sicuro che comunque ne esistono di meno scemi).
Adesso, sia [tex]\displaystyle H_{x_{0}}=\left\{c \in (x_{0},x)\quad \text{tali che}\quad \frac{\int_{x_{0}}^{x} f(t) \text{d}t}{x-{x_{0}}}=f(c)\right\}[/tex] e [tex]\displaystyle H:= \, \bigcup_{x_{0} \in (a,b)} H_{x_{0}}[/tex]. L'assioma della scelta mi garantisce l'esistenza di una $s: (a,b) \to H$ tale che $s(x_{0}) \in H_{x_{0}}$ per ogni $x_{0} \in (a,b)$.
In pratica, stiamo proprio scegliendo, per ogni $x_{0}$, uno dei $c$ che verificano la tesi del teorema della media.
Direi che ho proprio le idee più chiare adesso, grazie
Qui devo dissentire. Secondo me, non si può fare questo discorso che fai tu.
Non so se ti può essere utile il parallelo (
) geometrico con il celebre assioma delle parallele: anche lui è un assioma ma non per questo si assume a priori che sia sempre vero. Mi spiego meglio.
Esistono (almeno) due formulazioni del citato assioma delle parallele: una è quella originale di Euclide (dagli Elementi), dalla quale è desunta la versione nota ai più (il postulato di Playfair); l'altra è quella dei Grundlagen di Hilbert.
Ebbene, per mostrare che sono equivalenti, i.e. la stessa cosa, fai così: assumi Hilbert e con quello dimostri, come se fosse un teorema, Euclide. Poi, viceversa, assumi Euclide e fai vedere che Hilbert è vero.
Questo significa che le due proposizioni sono equivalenti.
Da quanto dici tu, invece, sembrerebbe che l'assioma delle parallele sia sempre vero perchè assioma: questa cosa è però falsa, giacchè si possono costruire modelli di geometria in cui esso non vale.
Insomma, il problema riguardo TFC $=>$ AC è ancora aperto.
Nel frattempo, ti ringrazio davvero molto per le spiegazioni.
"Simonixx":
Ecco, ora non so se il punto C descritto dal teorema della media sia unico o meno, però anche se fossero più di uno, per l'assioma della scelta posso comunque sceglierne uno arbitrariamente su tutti i presenti.
Questo è proprio il punto nevralgico, credo. E credo proprio tu abbia ragione.
Anzitutto, il teorema è un teorema di esistenza, nel senso che dice che esiste un siffatto punto, ma non dice né come trovarlo né si esprime circa l'unicità. Comunque, dovrebbe essere facile convincersi che il punto $c$ non è necessariamente unico (sto pensando al controesempio idiota, la funzione identicamente nulla su un $(a,b) \subseteq \RR$; sono sicuro che comunque ne esistono di meno scemi).
Adesso, sia [tex]\displaystyle H_{x_{0}}=\left\{c \in (x_{0},x)\quad \text{tali che}\quad \frac{\int_{x_{0}}^{x} f(t) \text{d}t}{x-{x_{0}}}=f(c)\right\}[/tex] e [tex]\displaystyle H:= \, \bigcup_{x_{0} \in (a,b)} H_{x_{0}}[/tex]. L'assioma della scelta mi garantisce l'esistenza di una $s: (a,b) \to H$ tale che $s(x_{0}) \in H_{x_{0}}$ per ogni $x_{0} \in (a,b)$.
In pratica, stiamo proprio scegliendo, per ogni $x_{0}$, uno dei $c$ che verificano la tesi del teorema della media.
Direi che ho proprio le idee più chiare adesso, grazie
"Simonixx":
TFC -> AC ----> AC è sempre vero poichè assioma. Quindi l'implicazione è sempre vera, a prescindere dalla verità o falsità del nostro TFC. Quindi non ci interessa minimamente cosa faccia TFC, se sia vero o non vero. (questo è un discorso a priori, noi sappiamo che TFC è vero, ma non sappiamo se la teoria cui è sviluppato sia dipendente o meno da AC)
Qui devo dissentire. Secondo me, non si può fare questo discorso che fai tu.
Non so se ti può essere utile il parallelo (
) geometrico con il celebre assioma delle parallele: anche lui è un assioma ma non per questo si assume a priori che sia sempre vero. Mi spiego meglio. Esistono (almeno) due formulazioni del citato assioma delle parallele: una è quella originale di Euclide (dagli Elementi), dalla quale è desunta la versione nota ai più (il postulato di Playfair); l'altra è quella dei Grundlagen di Hilbert.
Ebbene, per mostrare che sono equivalenti, i.e. la stessa cosa, fai così: assumi Hilbert e con quello dimostri, come se fosse un teorema, Euclide. Poi, viceversa, assumi Euclide e fai vedere che Hilbert è vero.
Questo significa che le due proposizioni sono equivalenti.
Da quanto dici tu, invece, sembrerebbe che l'assioma delle parallele sia sempre vero perchè assioma: questa cosa è però falsa, giacchè si possono costruire modelli di geometria in cui esso non vale.
Insomma, il problema riguardo TFC $=>$ AC è ancora aperto.
Nel frattempo, ti ringrazio davvero molto per le spiegazioni.
Hai fatto a formalizzare in quel modo >.< Devo trovare un topic sui segni che ti permette di fare il dollaro...
Comunque è vero che ci sono modelli e sistemi in cui certi assiomi non sono presi in considerazione, ma fintanto che sono assunti come assiomi in un sistema, allora sono assunti veri e non falsi. Quindi quello che voglio dire è che se discutiamo sulle implicazioni tra TFC ed AC, come in questo caso, stiamo presupponendo che AC esista nel nostro sistema formale, e che, siccome non è dimostrabile (o almeno, non ne esiste una dimostrazione ancora, sennò ci sarebbe stato un qualche teorema o proposizione e non un postulato come tale), è assunto come postulato, dunque assunto vero. Quindi è normale che nel discorso che ho fatto prima, stia ragionando a-priori e guardando ad AC vero, perchè se assunto nel sistema formale, esso è un assioma, dunque è assunto vero. (e non falso, sennò non servirebbe a nulla come assioma, anzi se fosse falso implicherebbe che esiste una qualche deduzione(altri assiomi o teoremi, ecc.) che ci permettano di verificare che sia vera la negazione di AC... ma nella nostra discussione non ci dobbiamo porre il problema: non credo se esista o meno un qualche sistema che permetta di dedurre la falsità di AC ma nel nostro, almeno, essa non è dedotta, ma è assunto vero AC.
Comunque è vero che ci sono modelli e sistemi in cui certi assiomi non sono presi in considerazione, ma fintanto che sono assunti come assiomi in un sistema, allora sono assunti veri e non falsi. Quindi quello che voglio dire è che se discutiamo sulle implicazioni tra TFC ed AC, come in questo caso, stiamo presupponendo che AC esista nel nostro sistema formale, e che, siccome non è dimostrabile (o almeno, non ne esiste una dimostrazione ancora, sennò ci sarebbe stato un qualche teorema o proposizione e non un postulato come tale), è assunto come postulato, dunque assunto vero. Quindi è normale che nel discorso che ho fatto prima, stia ragionando a-priori e guardando ad AC vero, perchè se assunto nel sistema formale, esso è un assioma, dunque è assunto vero. (e non falso, sennò non servirebbe a nulla come assioma, anzi se fosse falso implicherebbe che esiste una qualche deduzione(altri assiomi o teoremi, ecc.) che ci permettano di verificare che sia vera la negazione di AC... ma nella nostra discussione non ci dobbiamo porre il problema: non credo se esista o meno un qualche sistema che permetta di dedurre la falsità di AC ma nel nostro, almeno, essa non è dedotta, ma è assunto vero AC.
"Simonixx":
Hai fatto a formalizzare in quel modo >.< Devo trovare un topic sui segni che ti permette di fare il dollaro...
Se cerchi nella sezione "Il nostro forum" troverai un'ottima guida alla scrittura delle formule.
"Simonixx":
Comunque è vero che ci sono modelli e sistemi in cui certi assiomi non sono presi in considerazione, ma fintanto che sono assunti come assiomi in un sistema, allora sono assunti veri e non falsi.
Naturalmente, fin qui concordo.
"Simonixx":
Quindi quello che voglio dire è che se discutiamo sulle implicazioni tra TFC ed AC, come in questo caso, stiamo presupponendo che AC esista nel nostro sistema formale, e che, siccome non è dimostrabile (o almeno, non ne esiste una dimostrazione ancora, sennò ci sarebbe stato un qualche teorema o proposizione e non un postulato come tale), è assunto come postulato, dunque assunto vero. Quindi è normale che nel discorso che ho fatto prima, stia ragionando a-priori e guardando ad AC vero, perchè se assunto nel sistema formale, esso è un assioma, dunque è assunto vero. (e non falso, sennò non servirebbe a nulla come assioma, anzi se fosse falso implicherebbe che esiste una qualche deduzione(altri assiomi o teoremi, ecc.) che ci permettano di verificare che sia vera la negazione di AC... ma nella nostra discussione non ci dobbiamo porre il problema: non credo se esista o meno un qualche sistema che permetta di dedurre la falsità di AC ma nel nostro, almeno, essa non è dedotta, ma è assunto vero AC.
Non ti seguo, non capisco. Anzitutto, per quello che so io AC non è vero; e non è nemmeno falso. In altri termini, né AC né la sua negazione rendono la teoria di Zermelo-Fraenkel contraddittoria. Quindi, uno è libero di fare ciò che crede: può crederci e può non crederci. Che poi sia conveniente crederci, questo è un altro discorso.
Ripeto quello che ho già detto: è come con l'assioma delle parallele. Non è né vero né falso: esistono modelli in cui viene assunto, altri in cui viene assunta la sua negazione.
Il problema, però, è che potremmo dire: prendiamo un modello $M$ della geometria minimale (alla Hilbert: assiomi di incidenza, ordine e congruenza; se ti fa piacere mettici anche la continuità, tanto non cambia). Se aggiungo alla teoria di $M$ l'assioma delle parallele di Hilbert ottengo la geometria euclidea (quella delle superiori, per intenderci).
Ora posso chiedermi: non è che per caso c'è un altro enunciato $phi$ che mi fa lo stesso servizio? E non è che per caso, assumendo questo enunciato $phi$ come assioma, cioè come elemento della teoria di $M$, io riesco a dimostrare l'assioma di Hilbert? La risposta è affermativa; basta prendere, come già dicevo, l'assioma di Euclide.
Lo stesso accade con l'assioma della scelta nella teoria ZF: prendi appunto ZF. Se ci aggiungi AC siamo a posto, abbiamo l'ordinaria teoria degli insiemi che conosciamo e che usiamo tutti i giorni.
Ma potresti aggiungere a ZF, che so, il Lemma di Zorn. Cambierebbe qualcosa? No, perchè Zorn $iff$ AC. Detto in altri termini, assumi AC: allori dimostri Zorn (la dimostrazione la puoi trovare su un qualsiasi testo di Teoria degli insiemi). Viceversa, assumi vero Zorn (a mo' di assioma): allora puoi dimostrare AC (e non è particolarmente complesso, è un utile esercizio). Questo significa equivalenza. Hai capito ciò che intendo?
Non puoi dire: ah, sì AC è un assioma quindi è vero. Così non vale, stai facendo un ragionamento circolare.
In definitiva, abbiamo visto che AC implica il TFC. Ora, assumiamo TFC vero. Riusciamo a dimostrare AC? Secondo me no; almeno la questione non mi pare banale, ma aspetto un parere più esperto.
Bene bene... vedo che sei molto preparato su questi argomenti, quindi non posso fare altro che lasciare la discussione... è molto interessante questo tuo discorso certo che per farlo dovrei essere a conoscenza di diversi sistemi, Hillbert... Zorn... non so nemmeno chi siano >_< inoltre non avrei mai pensato ad un punto di vista di questo genere sugli assiomi... bella discussione... tornerò a leggere appena qualcun altro upperà
"Simonixx":
Bene bene... vedo che sei molto preparato su questi argomenti
Ti ringrazio molto, anche se non penso di essere molto preparato, come vedi ho dei dubbi.
Tieni conto, comunque, che queste sono cose che uno affronta (quantomeno dovrebbe) in un CdL in Matematica.
"Simonixx":
quindi non posso fare altro che lasciare la discussione... è molto interessante questo tuo discorso certo che per farlo dovrei essere a conoscenza di diversi sistemi, Hillbert... Zorn... non so nemmeno chi siano >_< inoltre non avrei mai pensato ad un punto di vista di questo genere sugli assiomi... bella discussione... tornerò a leggere appena qualcun altro upperà
Sono contento che la discussione ti sia piaciuta e ti sia stata utile. Ti invito comunque a restare, non andartene dalla discussione: hai contribuito a chiarirmi come l'AC intervenga nel TFC, sei stato molto gentile.
Da parte mia, mi sono limitato soltanto a raccontarti quel poco che ho imparato dai corsi di Matematiche Complementari e Logica che ho seguito all'uni.
Grazie ancora.
@Paolo90: Ma siamo proprio sicuri che serva AC per queste cose?
Non vorrei che si trattasse di paia di scarpe...
Non sono molto ferrato in materia, quindi metto le mie considerazioni (che potrebbero essere fallaci e generare confusione) in spoiler.
Non vorrei che si trattasse di paia di scarpe...
Non sono molto ferrato in materia, quindi metto le mie considerazioni (che potrebbero essere fallaci e generare confusione) in spoiler.
@gugo82: grazie per l'interessamento e l'intervento illuminante.
Mi sa che hai definitivamente chiuso la questione, AC è sufficiente ma non necessario per TFC.
Grazie ancora.
P.S.
Mi sa che hai definitivamente chiuso la questione, AC è sufficiente ma non necessario per TFC.
Grazie ancora.
P.S.
"gugo82":
Non vorrei che si trattasse di paia di scarpe...
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