Abuso di scrittura??
Ciao ragazzi... quando ci si trova davanti integrali tripli capita sempre di dover trovare un dominio in $R^2$ su cui poi farci " sopra " il terzo integrale in dz. Bene, siccome la scrittura $x^2+y^2= ..$ può significare sia la circonferenza di raggio radice di... , sia il paraboloide... come si riconosce quale dei due è?? Cioè.. non è un abuso di scrittura una dei due casi??
Risposte
Una circonferenza è una curva piana, mentre un paraboloide è una superficie nello spazio, senz'altro c'e' una bella differenza e anche nelle equazioni: l'equazione $x^2+y^2=z$ rappresenta un paraboloide (di rotazione) e non certo la circonferenza di centro origine e raggio $\sqrt z$... tutto dipende da dove ambienti l'equazione.
Io posso scrivere:
\[E^3_c := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ : \ x^2+y^2 = c \right\}\]
oppure:
\[E^2_c := \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ : \ x^2+y^2 = c \right\}\]
o anche:
\[E := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ : \ z = x^2+y^2 \right\}\]
E sono tre cose molto diverse appunto. La prima è un cilindro, la seconda una circonferenza nel piano la terza è un paraboloide.
Non sono abusi di scrittura. Nei primi due casi sto definendo degli insiemi di livello della funzione \(f(x,y) = x^2 + y^2\), ovvero \(f(x,y) = c\), che variano forma a seconda dello spazio in cui li ambiento.
Nel terzo caso invece vado a considerare il grafico della funzione \(f(x,y)\), che è un'altra cosa! Alla fine, se ci pensi bene, le circonferenze definite come \(f(x,y) = x^2 + y^2 = c\) non sono altro che l'intersezione tra il grafico del paraboloide \(f(x,y) = x^2 + y^2\) e il piano \(g(x,y)=c\).
Guarda qui:
Considera questo. Una varietà (che sia una curva, superficie, etc..) si può rappresentare in tre modi distinti ed è bene aver presente ciò. Facciamo l'esempio di una curva in 2 dimensioni:
1) In forma parametrica \(\mathbf{r}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\)
2) Come curva di livello di una funzione \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\)
3) Come grafico di una funzione \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
Le rappresentazioni 2) e 3) sono legate tra loro tramite il teorema del Dini.
Tutti questi tre modi sono in 2 dimensioni. La rappresentazione parametrica ad ogni valore \(t\) associa un punto di \(\mathbb{R}^2\), la curva di livello interseca il grafico di \(f(x,y)\) (3 dimensioni) con un piano ottenendo una rappresentazione in due dimensioni, il grafico di una funzione \(f(x)\) è in 2 dimensioni in quanto rappresentiamo dominio e immagine nello stesso piano cartesiano.
Ti consiglio una lettura del capito 7 del Pagani Salsa volume 1. E' illuminante su tutto ciò.
Spero di esserti stato utile
EDIT: Non avevo visto la risposta di Luca
\[E^3_c := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ : \ x^2+y^2 = c \right\}\]
oppure:
\[E^2_c := \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ : \ x^2+y^2 = c \right\}\]
o anche:
\[E := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ : \ z = x^2+y^2 \right\}\]
E sono tre cose molto diverse appunto. La prima è un cilindro, la seconda una circonferenza nel piano la terza è un paraboloide.
Non sono abusi di scrittura. Nei primi due casi sto definendo degli insiemi di livello della funzione \(f(x,y) = x^2 + y^2\), ovvero \(f(x,y) = c\), che variano forma a seconda dello spazio in cui li ambiento.
Nel terzo caso invece vado a considerare il grafico della funzione \(f(x,y)\), che è un'altra cosa! Alla fine, se ci pensi bene, le circonferenze definite come \(f(x,y) = x^2 + y^2 = c\) non sono altro che l'intersezione tra il grafico del paraboloide \(f(x,y) = x^2 + y^2\) e il piano \(g(x,y)=c\).
Guarda qui:
Considera questo. Una varietà (che sia una curva, superficie, etc..) si può rappresentare in tre modi distinti ed è bene aver presente ciò. Facciamo l'esempio di una curva in 2 dimensioni:
1) In forma parametrica \(\mathbf{r}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\)
2) Come curva di livello di una funzione \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\)
3) Come grafico di una funzione \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
Le rappresentazioni 2) e 3) sono legate tra loro tramite il teorema del Dini.
Tutti questi tre modi sono in 2 dimensioni. La rappresentazione parametrica ad ogni valore \(t\) associa un punto di \(\mathbb{R}^2\), la curva di livello interseca il grafico di \(f(x,y)\) (3 dimensioni) con un piano ottenendo una rappresentazione in due dimensioni, il grafico di una funzione \(f(x)\) è in 2 dimensioni in quanto rappresentiamo dominio e immagine nello stesso piano cartesiano.
Ti consiglio una lettura del capito 7 del Pagani Salsa volume 1. E' illuminante su tutto ciò.
Spero di esserti stato utile
EDIT: Non avevo visto la risposta di Luca
Ringrazio entrambi... grazie per l'immagine Emar... mi confondo ancora però su un particolare... la scrittura 1) e 3) è vero, sono diverse, ma sono nello stesso spazio... per cui se ho $x^2+y^2=4$ .. il 4 lo posso pensare sia come $c$ curva di livello, sia come z della terza e quindi come paraboloide... So che sbaglio ma non so dove
Sì e no. Se ti aiuta puoi pensare a \(z = x^2 + y^2\) come "l'unione di tutte le curve di livello" al variare di \(z\). Ma le due scritture sono completamente diversa, nella prima fissi un numero nella seconda \(z\) varia liberamente in tutto il suo asse. Trasportala in una dimensione: scrivere \(f(x) = c\) e scrivere \(y = f(x)\) è la stessa cosa?
Prendiamo \(f(x) = x^3\). Se io scrivo \(f(x) = 8\), ovvero \(x^3 = 8\) sto intendendo un insieme formato da un solo punto, \(2\), se preferisci l'intersezione tra il grafico di \(f(x) = x^3\) e la retta \(g(x) = 8\). Se invece scrivo \(y = x^3\) intendo prendere tutti i punti al variare di \(y\) in $RR$, ovvero il grafico di \(f\), una curva!
Meglio?
EDIT: Ho appena usato scritture implicite, se utilizziamo le scritture formali del mio primo messaggio potrei scrivere:
\[\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ : \ x^3 = 8 \right\}\]
Beh, in questo caso \(y\) è libero di variare a piacere, quindi questo insieme rappresenta la retta \(x=2\).
Questa scrittura è un po' un caso limite ma si può fare. E' infatti il caso del cilindro in $RR^3$. Ci sei?
Ho finito di modificare
Prendiamo \(f(x) = x^3\). Se io scrivo \(f(x) = 8\), ovvero \(x^3 = 8\) sto intendendo un insieme formato da un solo punto, \(2\), se preferisci l'intersezione tra il grafico di \(f(x) = x^3\) e la retta \(g(x) = 8\). Se invece scrivo \(y = x^3\) intendo prendere tutti i punti al variare di \(y\) in $RR$, ovvero il grafico di \(f\), una curva!
Meglio?
EDIT: Ho appena usato scritture implicite, se utilizziamo le scritture formali del mio primo messaggio potrei scrivere:
\[\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ : \ x^3 = 8 \right\}\]
Beh, in questo caso \(y\) è libero di variare a piacere, quindi questo insieme rappresenta la retta \(x=2\).
Questa scrittura è un po' un caso limite ma si può fare. E' infatti il caso del cilindro in $RR^3$. Ci sei?
Ho finito di modificare
Penso di si 
Quindi la prima rientra nella terza... è la curva di livello di un paraboloide ad altezza fissata, e negli esercizi ciò che interessa è quello
Quindi la prima rientra nella terza... è la curva di livello di un paraboloide ad altezza fissata, e negli esercizi ciò che interessa è quello
perche vedi... una cosa del genere mi ci confondo... il dominio in cui $x^2+y^2<=z<= sqrt(2-x^2-y^2)$... il primo è un paraboiloide , il secondo una sfera.. ma come si riconosce?
"alby941":
perche vedi... una cosa del genere mi ci confondo... il dominio in cui $x^2+y^2<=z<= sqrt(2-x^2-y^2)$... il primo è un paraboiloide , il secondo una sfera.. ma come si riconosce?
In che senso come si riconosce?
che il primo è un paraboloide e il secondo una sfera
Beh, il primo è rappresentato da \(z = x^2 + y^2\) e il secondo da \(z = \sqrt{2 - x^2 - y^2}\), ovvero:
\[z^2 = 2 - x^2 - y^2 \ \ \to \ \ x^2 + y^2 + z^2 = 2\]
Che è proprio l'equazione di una sfera centrata in \(0\) di raggio \(\sqrt{2}\). Con la radice ne consideri solo metà di sfera però. Dove sta il problema?
\[z^2 = 2 - x^2 - y^2 \ \ \to \ \ x^2 + y^2 + z^2 = 2\]
Che è proprio l'equazione di una sfera centrata in \(0\) di raggio \(\sqrt{2}\). Con la radice ne consideri solo metà di sfera però. Dove sta il problema?
Potrei chiederti, coma fai a riconoscere che \(y - x^2 - c = 0\) è una parabola e \(x^2 + y^2 - c = 0\) è una circonferenza?
Giusto... mi devo rivedere un pò di geometria
Grazie
Grazie
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