A.A.A. verso l'esame...
Sapreste darmi dei suggerimenti per risolvere le seguenti questioni:
Dato l'insieme A={x tale che x=3+(2/n) con n appartenente ai numeri Naturali-{0}[size=18]}
1) verifica che x0=3 è punto di accumulazione per A;
2) verifica che x1=11/3 è un punto isolato;
3)trova l'estremo superiore e l'estremo inferiore di A;
4) A è un insieme limitato? E' chiuso? E' finito?
Grazie a chiunque mi saprà dare delle dritte!
Dato l'insieme A={x tale che x=3+(2/n) con n appartenente ai numeri Naturali-{0}[size=18]}
1) verifica che x0=3 è punto di accumulazione per A;
2) verifica che x1=11/3 è un punto isolato;
3)trova l'estremo superiore e l'estremo inferiore di A;
4) A è un insieme limitato? E' chiuso? E' finito?
Grazie a chiunque mi saprà dare delle dritte!
Risposte
Bene: qual è la definizione di punto di accumulazione? Prova a verificarla
Devi applicare le definizioni.
Intanto $\forall n \in N_0$ si ha $3 +2/n > 0$
Inoltre $3 + 2/n > 3 + 2/(n+1)$ cioè la funzione che determina gli elementi di A è monotona strettam. decrescente.
Dunque l'estremo superiore di A (nonchè massimo, dato che vi appartiene) è il "primo" elemento, cioè ottenibile per $n=1$, ovvero 5.
Quindi gli elementi di A stanno di sicuro tra 5 e 0, dunque A è limitato.
Per quanto riguarda $11/3$ è isolato in quanto esiste un suo intorno che non contiene punti di A:
$A={5, 4, 11/3, 7/2, ...}$ Basta prendere un raggio adeguato per l'intorno, in modo che non "tocchi" nè il 4, nè il $7/2$ (con $0,1$ ad esempio sei a posto).
$3$ non appartiene ad A ($3 + 2/n \ne 3 $ per ogni $n$ ), tuttavia $\lim_{n \to + \infty} 3+ 2/n = 3$ e quindi per definizione di limite è punto di accumulazione per A.
Essendo A un insieme infinito (perchè $N$ è infinito) ed essendo la funzione che definisce i suoi punti strettam. decr. non può avere minimo (continua a "calare" all'infinito, non può fermarsi su un punto). Però ha estremo inferiore, che è proprio 3, il suo limite.
Paola
Intanto $\forall n \in N_0$ si ha $3 +2/n > 0$
Inoltre $3 + 2/n > 3 + 2/(n+1)$ cioè la funzione che determina gli elementi di A è monotona strettam. decrescente.
Dunque l'estremo superiore di A (nonchè massimo, dato che vi appartiene) è il "primo" elemento, cioè ottenibile per $n=1$, ovvero 5.
Quindi gli elementi di A stanno di sicuro tra 5 e 0, dunque A è limitato.
Per quanto riguarda $11/3$ è isolato in quanto esiste un suo intorno che non contiene punti di A:
$A={5, 4, 11/3, 7/2, ...}$ Basta prendere un raggio adeguato per l'intorno, in modo che non "tocchi" nè il 4, nè il $7/2$ (con $0,1$ ad esempio sei a posto).
$3$ non appartiene ad A ($3 + 2/n \ne 3 $ per ogni $n$ ), tuttavia $\lim_{n \to + \infty} 3+ 2/n = 3$ e quindi per definizione di limite è punto di accumulazione per A.
Essendo A un insieme infinito (perchè $N$ è infinito) ed essendo la funzione che definisce i suoi punti strettam. decr. non può avere minimo (continua a "calare" all'infinito, non può fermarsi su un punto). Però ha estremo inferiore, che è proprio 3, il suo limite.
Paola
1) I modi di procedere sono molteplici: a mio avviso, il migliore è questo:
a) dimostra che la successione formata dagli elementi di A converge a 3 (applicando la definizione di limite)
b) dimostra che un punto x è d'accumulazione per A se e solo se esiste una successione di elementi di a tendente a x;
... e quindi la conclusione
2) dimostra che non si tratta si un punto d'accumulazione, allora (tramite la definizione) sarà immediato mostrare che si tratta di un punto isolato
3)[2/n] è monotona decrescente, idem [3+(2/n)]. Quindi per n=1 hai il massimo=estremo superiore (in questo caso...) e 3=estremo inferiore (anche questo si dimostra con la definizione)
4) E' limitato, poichè è contenuto, ad esempio, nell'intervallo [0,8] (condizione sufficiente e necessaria)
E' chiuso, poichè tutte le successioni convergenti tendono ad un limite appartenente ad A (notare che una successione è definitivamente costante ad un valore di A, oppure converge a 3)
Infinito, ovviamente. Basta osservare che esiste una corrispondenza biunivoca tra A e l'insieme dei numeri naturali...
Ho volutamente evitato di dare risposte troppo esaustive... Credo che il miglior metodo per la comprensione sia il "fare da sè"... Con qualche "dritta" da fuori, ovviamente...
a) dimostra che la successione formata dagli elementi di A converge a 3 (applicando la definizione di limite)
b) dimostra che un punto x è d'accumulazione per A se e solo se esiste una successione di elementi di a tendente a x;
... e quindi la conclusione
2) dimostra che non si tratta si un punto d'accumulazione, allora (tramite la definizione) sarà immediato mostrare che si tratta di un punto isolato
3)[2/n] è monotona decrescente, idem [3+(2/n)]. Quindi per n=1 hai il massimo=estremo superiore (in questo caso...) e 3=estremo inferiore (anche questo si dimostra con la definizione)
4) E' limitato, poichè è contenuto, ad esempio, nell'intervallo [0,8] (condizione sufficiente e necessaria)
E' chiuso, poichè tutte le successioni convergenti tendono ad un limite appartenente ad A (notare che una successione è definitivamente costante ad un valore di A, oppure converge a 3)
Infinito, ovviamente. Basta osservare che esiste una corrispondenza biunivoca tra A e l'insieme dei numeri naturali...
Ho volutamente evitato di dare risposte troppo esaustive... Credo che il miglior metodo per la comprensione sia il "fare da sè"... Con qualche "dritta" da fuori, ovviamente...
$A={3+(2/n):n\in\NN_0}
1) $x_0=3$ punto di accumulazione $<=>$ $AAepsilon>0$ l'intorno $S(3,epsilon)$ contiene almeno un punto $x\inA$
quindi possiamo scegliere $x=3+2/n$ e porre $3+3/n=epsilon$ da cui otteniamo che $3x\in(3,3+epsilon)subS(3,epsilon)$
2) $x_1=11/3$ punto isolato $<=>$ esiste $epsilon$ tale che $S(x_1,epsilon)nnA=O/$
quindi basta trovare un intorno di 11/3 che non comprenda altri punti, per esempio ponendo $epsilon<1/3$ per ottenere quanto detto (o come ha detto prime number 0,1)
3)estremo superiore è il massimo ed è 5 l'inf è 3. si verificano con la definizione.
l'inf viene bene per assurdo la dimostrazione...
(dorian secondo me A non è ne chiuso ne aperto
infatti "un insime A è chiuso $<=>A'\inA$", in questo caso $A'={3}!inA$ e quindi non può essere chiuso.
non trovi?
1) $x_0=3$ punto di accumulazione $<=>$ $AAepsilon>0$ l'intorno $S(3,epsilon)$ contiene almeno un punto $x\inA$
quindi possiamo scegliere $x=3+2/n$ e porre $3+3/n=epsilon$ da cui otteniamo che $3
2) $x_1=11/3$ punto isolato $<=>$ esiste $epsilon$ tale che $S(x_1,epsilon)nnA=O/$
quindi basta trovare un intorno di 11/3 che non comprenda altri punti, per esempio ponendo $epsilon<1/3$ per ottenere quanto detto (o come ha detto prime number 0,1)
3)estremo superiore è il massimo ed è 5 l'inf è 3. si verificano con la definizione.
l'inf viene bene per assurdo la dimostrazione...
(dorian secondo me A non è ne chiuso ne aperto
infatti "un insime A è chiuso $<=>A'\inA$", in questo caso $A'={3}!inA$ e quindi non può essere chiuso.
non trovi?
Pardon... 3 non appartiene ad A... Piccola distrazione!
Scusatemi!
Scusatemi!
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