A proposito di convergenza...
Sia \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) una successione t.c. \(\displaystyle a_{n} \ge 0 \quad \forall \ n \in \mathbb{N} \). Se so che \(\displaystyle \sum_{n} a_{n} < + \infty \) posso affermare che \(\displaystyle \exists \ \alpha \in \ ]1,+\infty [ \) t.c. \(\displaystyle a_{n} \sim \frac{1}{n^{\alpha}} \)? Non mi sembra un fatto banale - sto infatti domandando se esiste una funzione suriettiva \(\displaystyle f: \text{B} \to \text{A} \) t.c. \(\displaystyle f((a_{n})_{n \in \mathbb{N}})=\alpha \), ove \(\displaystyle \text{B}=\{ (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \ | \ \sum a_{n} < +\infty \} \) e \(\displaystyle A \equiv ]1,+\infty[ \) tale che appunto \(\displaystyle a_{n} \sim \frac{1}{n^{\alpha}} \)
Risposte
Certamente no. Infatti può darsi che l'ordine di infinitesimo di $a_n$ sia infrareale.
Prendi per esempio $a_n = (log(n))/n^2$.
Prendi per esempio $a_n = (log(n))/n^2$.
E che dire di $a_n = (1/2)^n$?
"Seneca":
Certamente no. Infatti può darsi che l'ordine di infinitesimo di $a_n$ sia infrareale.
Prendi per esempio $a_n = (log(n))/n^2$.
Ok, ma cosa intendi per "infrareale"?
Se invece generalizzassi? Potrei dire che, se \(\displaystyle \sum a_{n} \) è convergente, allora esiste una successione \(\displaystyle (b_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) t.c. \(\displaystyle \sum b_{n} < + \infty \) e che \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=L \in \mathbb{C} \setminus \{ 0 \} \)?
A questo punto non ci credo più nemmeno io, ma tanto vale chiedere.
Ciao Delirium.
Sì, esiste. Per esempio $a_n = b_n$.
EDIT: Gli ordini infrareali sono ordini di infinitesimo che sono confrontabili con tutti gli ordini reali, superiori ad alcuni ed inferiori agli altri. Per esempio $a_n$ del precedente post, rispetto all'infinitesimo campione $1/n$, ha ordine $< 2$ ma maggiore di $2 - epsilon$, $\forall epsilon > 0$ (un ordine non-reale, comunque).
Sì, esiste. Per esempio $a_n = b_n$.
EDIT: Gli ordini infrareali sono ordini di infinitesimo che sono confrontabili con tutti gli ordini reali, superiori ad alcuni ed inferiori agli altri. Per esempio $a_n$ del precedente post, rispetto all'infinitesimo campione $1/n$, ha ordine $< 2$ ma maggiore di $2 - epsilon$, $\forall epsilon > 0$ (un ordine non-reale, comunque).
Altro esempio: \(\sum \frac{1}{n\ \ln^p n}\) con \(p>1\).
La successione degli addendi è infinitesima d'ordine superiore ad \(\alpha=1\), ma inferiore ad ogni \(\alpha >1\); ciò nonostante, la serie converge (per il criterio di condensazione o per il criterio integrale).
La successione degli addendi è infinitesima d'ordine superiore ad \(\alpha=1\), ma inferiore ad ogni \(\alpha >1\); ciò nonostante, la serie converge (per il criterio di condensazione o per il criterio integrale).
Ok, bene. Grazie a tutti per le risposte. In realtà la notte mi ha portato consiglio, e in effetti mi sembra che le mie perplessità fossero del tutto inutili ai fini della dimostrazione che volevo ultimare.
Volevo provare il seguente fatto:
Sia \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) una successione t.c. \(\displaystyle a_{n} \ge 0 \quad \forall n \in \mathbb{N} \). Mostrare che \[\displaystyle \sum_{n} a_{n} \ \text{converge} \quad \Longleftrightarrow \quad \sum_{n} \frac{a_{n}}{a_{n} + 1} \ \text{converge}\]
Pensavo fosse sufficiente ( \(\displaystyle \Rightarrow \) ) dire che \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{1 + a_{n}} \frac{1}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+a_{n}} > 0 \), e quindi concludere per il criterio del confronto asintotico per le serie (e analogamente si potrebbe procedere per dimostrare l'implicazione opposta). Può andare bene?
Volevo provare il seguente fatto:
Sia \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) una successione t.c. \(\displaystyle a_{n} \ge 0 \quad \forall n \in \mathbb{N} \). Mostrare che \[\displaystyle \sum_{n} a_{n} \ \text{converge} \quad \Longleftrightarrow \quad \sum_{n} \frac{a_{n}}{a_{n} + 1} \ \text{converge}\]
Pensavo fosse sufficiente ( \(\displaystyle \Rightarrow \) ) dire che \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{1 + a_{n}} \frac{1}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+a_{n}} > 0 \), e quindi concludere per il criterio del confronto asintotico per le serie (e analogamente si potrebbe procedere per dimostrare l'implicazione opposta). Può andare bene?
Puoi usare il criterio del confronto asintotico, con qualche accortezza.
"\(\Longrightarrow\)" Se \(\sum a_n\) converge, allora \(a_n\to 0\) e, di conseguenza,
\[ \lim_n \frac{a_n}{1+a_n}\cdot \frac{1}{a_n} = \lim_n \frac{1}{1+a_n} = 1.\]
"\(\Longleftarrow\)" Se \(\sum \frac{a_n}{1+a_n}\) converge, allora \(\frac{a_n}{1+a_n}\to 0\) e, di conseguenza, \(a_n\to 0\) etc etc.
"\(\Longrightarrow\)" Se \(\sum a_n\) converge, allora \(a_n\to 0\) e, di conseguenza,
\[ \lim_n \frac{a_n}{1+a_n}\cdot \frac{1}{a_n} = \lim_n \frac{1}{1+a_n} = 1.\]
"\(\Longleftarrow\)" Se \(\sum \frac{a_n}{1+a_n}\) converge, allora \(\frac{a_n}{1+a_n}\to 0\) e, di conseguenza, \(a_n\to 0\) etc etc.
"Rigel":
Puoi usare il criterio del confronto asintotico, con qualche accortezza.
"\(\Longrightarrow\)" Se \(\sum a_n\) converge, allora \(a_n\to 0\) e, di conseguenza,
\[ \lim_n \frac{a_n}{1+a_n}\cdot \frac{1}{a_n} = \lim_n \frac{1}{1+a_n} = 1.\]
"\(\Longleftarrow\)" Se \(\sum \frac{a_n}{1+a_n}\) converge, allora \(\frac{a_n}{1+a_n}\to 0\) e, di conseguenza, \(a_n\to 0\) etc etc.
Sì pardon, avevo sottinteso le giuste accortezze. Grazie.
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