A proposito di Banach-Steinhaus
Sto studiando sul Brezis (che ormai è un amico! 
) il principio di uniforme limitatezza, cioè il teorema di Banach-Steinhaus.
Brevemente, siano dati due spazi di Banach $E$,$F$ e sia $\mathcal{L}(E,F)$ lo spazio degli operatori lineari e continui $E to F$. Se una famiglia (non necessariamente numerabile) $(T_i)_{i in I}$ di operatori è puntualmente limitata, allora è uniformemente limitata: cioè se $"sup"_i||T_ix||<+infty, forall x in E =>"sup"_i||T_i||_{\mathcal{L}(E,F)}<+infty $.
La dimostrazione (che non ho ancora digerito del tutto) fa uso del teorema della categoria di Baire.
Confrontando con quanto scritto [url=http://it.wikipedia.org/wiki/Principio_dell'uniforme_limitatezza]qui[/url], mi domando: è necessaria l'ipotesi che entrambi gli spazi $E,F$ siano di Banach? Secondo wiki, no: basta che lo sia $E$ e che $F$ sia normato.
Effettivamente, non mi pare di aver visto usare l'ipotesi $F$ Banach nella dimostrazione, ma - prima di contraddire Brezis - mi piacerebbe sentire un vostro parere.
Una volta chiarito questo punto, mi piacerebbe discutere con voi di un bell'esercizio (che sto cercando di risolvere) che mostra invece come l'ipotesi "$E$ di Banach" sia necessaria.
Grazie
) il principio di uniforme limitatezza, cioè il teorema di Banach-Steinhaus.Brevemente, siano dati due spazi di Banach $E$,$F$ e sia $\mathcal{L}(E,F)$ lo spazio degli operatori lineari e continui $E to F$. Se una famiglia (non necessariamente numerabile) $(T_i)_{i in I}$ di operatori è puntualmente limitata, allora è uniformemente limitata: cioè se $"sup"_i||T_ix||<+infty, forall x in E =>"sup"_i||T_i||_{\mathcal{L}(E,F)}<+infty $.
La dimostrazione (che non ho ancora digerito del tutto) fa uso del teorema della categoria di Baire.
Confrontando con quanto scritto [url=http://it.wikipedia.org/wiki/Principio_dell'uniforme_limitatezza]qui[/url], mi domando: è necessaria l'ipotesi che entrambi gli spazi $E,F$ siano di Banach? Secondo wiki, no: basta che lo sia $E$ e che $F$ sia normato.
Effettivamente, non mi pare di aver visto usare l'ipotesi $F$ Banach nella dimostrazione, ma - prima di contraddire Brezis - mi piacerebbe sentire un vostro parere.
Una volta chiarito questo punto, mi piacerebbe discutere con voi di un bell'esercizio (che sto cercando di risolvere) che mostra invece come l'ipotesi "$E$ di Banach" sia necessaria.
Grazie
Risposte
Ciò che basta è che $E$ sia un insieme di seconda categoria (cosa sicuramente verificata se $E$ è uno spazio di Banach).
L'unica richiesta su $F$, in generale, è che sia uno spazio vettoriale topologico (cosa sempre verificata se è uno spazio normato).
Se hai voglia di approfondire un po', puoi dare un'occhiata al Rudin, "Functional Analysis", cap. 2.
L'unica richiesta su $F$, in generale, è che sia uno spazio vettoriale topologico (cosa sempre verificata se è uno spazio normato).
Se hai voglia di approfondire un po', puoi dare un'occhiata al Rudin, "Functional Analysis", cap. 2.
Una volta tanto ha ragione WIKI: la completezza dello spazio di arrivo non è affatto necessaria.
Ad esempio, il Rudin (Real and Complex Analysis, §5.8) enuncia lo UBP in maniera più completa come segue:
Poi ovviamente la cosa si può generalizzare ad altri tipi di spazi astratti, ma la sostanza rimane la stessa.
Ad esempio, il Rudin (Real and Complex Analysis, §5.8) enuncia lo UBP in maniera più completa come segue:
Suppose \(X\) is a Banach space, \(Y\) is a normed linear space, and \(\{\Lambda_\alpha\}\) is a collection of bounded linear transformations of \(X\) into \(Y\), where \(\alpha\) ranges over some index set \(A\).
Then either there exists an \(0\leq M < \infty\) such that
\[\lVert \Lambda_\alpha \rVert \leq M \]
for every \(\alpha \in A\), or:
\[\sup_{\alpha \in A} \lVert \Lambda_\alpha x\rVert = \infty \]
for all \(x\) belonging to some dense \(G_\delta\) in \(X\).
In geometric terminology, the alternatives are as follows: either there is a ball \(B\) in \(Y\) (with radius \(M\) and center at \(0_Y\)) such that every \(\Lambda_\alpha\) maps the unit ball of \(X\) into \(B\), or there exist \(x \in X\) (in fact, a whole dense \(G_\delta\) of them) such that no ball in \(Y\) contains \(\Lambda_\alpha x\) for all \(\alpha\).
Poi ovviamente la cosa si può generalizzare ad altri tipi di spazi astratti, ma la sostanza rimane la stessa.
Uh, interessante. Grazie per le vostre risposte e per il riferimento bibliografico, darò sicuramente un'occhiata al Rudin (finora l'ho solo sfogliato: siccome sono all'inizio ho preferito il Brezis, mi pare più semplice).
Come dicevo già sopra, ho trovato un esercizio (il num. 1.4) che mostra che l'ipotesi $E$ completo sia necessaria. Evidentemente c'è qualcosa che non va
, visto che dalle parole di Rigel sembra che tale ipotesi non sia affatto necessaria. Inoltre, c'è qualcosa che non torna nel testo del problema, ma facciamo un passo alla volta.
In breve, l'esercizio considera $X={x=(x_{n})_{n in NN} " tali che " \exists N \in NN, n>N => x_{n}=0}$, cioè lo spazio delle successioni (di numeri reali) che hanno solo un numero finito di termini non nulli.
La norma è $||x||=||(x_{n})_{n in NN}||="max"_{n} |x_{n}|$. Si dimostra facilmente che si tratta proprio di una norma e fin qui ci sono.
Mostrare che $X$ non è completo (con quella norma) è invece un affare più delicato. Praticamente, lavorare con successioni di elementi di X significa lavorare con successioni di... successioni!
Avevo pensato di considerare la seguente successione: sia $x_{k}$ la successione il cui k-esimo elemento è la successione che ha $k$ uni iniziali e poi tutti zero. Mi spiego meglio: $x_1=(1,0,0,...)$, $x_{2}=(1,1,0,0, \ldots )$, ..., [tex]\begin{matrix} x_{k}= ( \underbrace{ 1,1, \ldots , 1}, 0,0, \ldots) \\ k \text{ volte} \end{matrix}[/tex].
E' ovvio che la $x_{k}$ converge, per $k \to +\infty $, alla successione costante $(1,1, \ldots )$: tale convergenza è da intendersi nel senso "puntuale". Ma funziona anche rispetto alla norma?
Pensavo anche che la successione fosse di Cauchy, ma rivedendo - ora che scrivo - i miei conti, mi sa che ho preso un granchio.
Che successione devo considerare per mostrare che $E$ non è completo?
Infine, riguardo al testo dell'esercizio, nel punto 3 si chiede di considerare, per $m in NN$, il funzionale $phi_{m}: x mapsto mx_m$. Ma che significa moltiplicare un numero per una successione? Immagino moltiplicare tutti i termini di $x_m$ per $m$, ma allora il risultato è un elemento di $X$! Ma "funzionale" non vuol dire "a valori reali"?
Ciò, tra l'altro, si scontra con il punto 4): come faccio a prendere il $"sup"_{m}|m x_m|$? Che ordine metto sull'insieme delle successioni?
Mi sa che, tanto per cambiare, ho fatto un po' di casino.
Grazie per il vostro aiuto.
Come dicevo già sopra, ho trovato un esercizio (il num. 1.4) che mostra che l'ipotesi $E$ completo sia necessaria. Evidentemente c'è qualcosa che non va
, visto che dalle parole di Rigel sembra che tale ipotesi non sia affatto necessaria. Inoltre, c'è qualcosa che non torna nel testo del problema, ma facciamo un passo alla volta.In breve, l'esercizio considera $X={x=(x_{n})_{n in NN} " tali che " \exists N \in NN, n>N => x_{n}=0}$, cioè lo spazio delle successioni (di numeri reali) che hanno solo un numero finito di termini non nulli.
La norma è $||x||=||(x_{n})_{n in NN}||="max"_{n} |x_{n}|$. Si dimostra facilmente che si tratta proprio di una norma e fin qui ci sono.
Mostrare che $X$ non è completo (con quella norma) è invece un affare più delicato. Praticamente, lavorare con successioni di elementi di X significa lavorare con successioni di... successioni!
Avevo pensato di considerare la seguente successione: sia $x_{k}$ la successione il cui k-esimo elemento è la successione che ha $k$ uni iniziali e poi tutti zero. Mi spiego meglio: $x_1=(1,0,0,...)$, $x_{2}=(1,1,0,0, \ldots )$, ..., [tex]\begin{matrix} x_{k}= ( \underbrace{ 1,1, \ldots , 1}, 0,0, \ldots) \\ k \text{ volte} \end{matrix}[/tex].
E' ovvio che la $x_{k}$ converge, per $k \to +\infty $, alla successione costante $(1,1, \ldots )$: tale convergenza è da intendersi nel senso "puntuale". Ma funziona anche rispetto alla norma?
Pensavo anche che la successione fosse di Cauchy, ma rivedendo - ora che scrivo - i miei conti, mi sa che ho preso un granchio.
Che successione devo considerare per mostrare che $E$ non è completo?
Infine, riguardo al testo dell'esercizio, nel punto 3 si chiede di considerare, per $m in NN$, il funzionale $phi_{m}: x mapsto mx_m$. Ma che significa moltiplicare un numero per una successione? Immagino moltiplicare tutti i termini di $x_m$ per $m$, ma allora il risultato è un elemento di $X$! Ma "funzionale" non vuol dire "a valori reali"?
Ciò, tra l'altro, si scontra con il punto 4): come faccio a prendere il $"sup"_{m}|m x_m|$? Che ordine metto sull'insieme delle successioni?
Mi sa che, tanto per cambiare, ho fatto un po' di casino.
Grazie per il vostro aiuto.
Prendi $x_n = (1, 1/2, ..., 1/n, 0, 0, 0, ...)$; questa successione è di Cauchy nella norma data (che è quella di \( \ell^{\infty}\) ), ma d'altra parte non è convergente nello spazio delle successioni definitivamente nulle.
"Paolo90":
l'ipotesi $E$ completo sia necessaria. Evidentemente c'è qualcosa che non va
Prima che arrivi Rigel a dirimere la questione come si deve vorrei segnalare un link in cui si è discussa una questione molto simile. In particolare, in questo post:
post303656.html#p303656
ViciousGoblin mostra come lo spazio dei polinomi reali dotato della norma
\[\lVert a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n\rVert=\max(\lvert a_0\rvert, \lvert a_1 \rvert \ldots \lvert a_n\rvert)\]
non sia uno spazio di seconda categoria, ovvero che può essere decomposto in una unione numerabile di sottoinsiemi mai densi. E' chiaro che tale spazio è isomorfo allo spazio delle successioni definitivamente nulle, quindi anche quest'ultimo spazio non è di seconda categoria.
Perciò quanto dice Rigel non è in contraddizione con l'enunciato dell'esercizio.
I polinomi! Ma certo 
Mi mancano un po' di cose (non ho mai studiato questa storia degli spazi di prima e seconda categoria - di Baire?), ma vedo di rimediare quanto prima.
Avete per caso idea di come interpretare gli ultimi punti dell'esercizio? Chi è quel funzionale che il testo dice di considerare?
Grazie
Mi mancano un po' di cose (non ho mai studiato questa storia degli spazi di prima e seconda categoria - di Baire?), ma vedo di rimediare quanto prima.
Avete per caso idea di come interpretare gli ultimi punti dell'esercizio? Chi è quel funzionale che il testo dice di considerare?
Grazie
A quanto capisco si tratta proprio di funzionali $\phi_m: X\to\RR$; dato $x=(x_1, x_2, ...)$, si ha $\phi_m(x) = m x_m\in\RR$.
Dovrebbe essere immediato dimostrare che questi funzionali siano lineari e continui.
Inoltre \( \sup_m |\phi_m(x)| \) è finito dal momento che $x$ ha solo un numero finito di termini non nulli, mentre è immediato verificare che \( \|\phi_m\|_{X^*} = m\).
Dovrebbe essere immediato dimostrare che questi funzionali siano lineari e continui.
Inoltre \( \sup_m |\phi_m(x)| \) è finito dal momento che $x$ ha solo un numero finito di termini non nulli, mentre è immediato verificare che \( \|\phi_m\|_{X^*} = m\).
Ah, sì, scusa mi ero proprio confuso e stavo ancora ragionando con successioni di elementi di $X$. Sì, certo ora ho capito il testo.
Sì, certo. E quindi la famiglia è fatta da funzionali puntualmente limitati, ma non uniformemente limitati: cioè non vale B-S.
Ora ho capito.
Vi ringrazio ancora per il vostro aiuto.
"Rigel":
Inoltre \( \sup_m |\phi_m(x)| \) è finito dal momento che $x$ ha solo un numero finito di termini non nulli, mentre è immediato verificare che \( \|\phi_m\|_{X^*} = m\).
Sì, certo. E quindi la famiglia è fatta da funzionali puntualmente limitati, ma non uniformemente limitati: cioè non vale B-S.
Ora ho capito.
Vi ringrazio ancora per il vostro aiuto.
Ciao a tutti! mi sono appena iscritta a questo forum! ho visto che avete discusso a proposito del teorema di Banach steninhaus...volevo chiedere a qualcuno se poteva spiegarmi il significato e l'utilità di questo teorema perchè non riesco a capirla...al di là dei dettagli tecnici sulla dimostrazione! grazie!
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