[6/2/14][tex]y\left(x\right)=\arctan\left(\frac{x-1}{x}\right)-\frac{x}{2}[/tex]

[koloko]

Traccia:
studiare la funzione
[tex]y\left(x\right)=\arctan\left(\frac{x-1}{x}\right)-\frac{x}{2}[/tex]
specificando il dominio, eventuali asintoti, gli estremi relativi, gli intervalli di crescenza e di decrescenza, i punti di flesso, gli intervalli di concavità e di convessità.
Determinare gli eventuali punti di discontinuità e di non derivabilità.


Stavo provando a vedere se c'è l'attraversamento dell'asse x quando y=0, ma non riesco a risolvere l'equazione
[tex]\arctan\left(\frac{x-1}{x}\right)-\frac{x}{2}=0[/tex]
per togliere l'arcotangente se provo a fare
[tex]\tan\left(\arctan\left(\frac{x-1}{x}\right)\right)=\tan\left(\frac{x}{2}\right)[/tex]
poi mi ritroverò sempre un'altra funzione trigonometrica, però stavolta dall'altra parte dell'uguale
[tex]\frac{x-1}{x}=\tan\left(\frac{x}{2}\right)[/tex]

[ciampax]

Lascia perdere, stare a cercare intersezioni con gli assi e positività della funzione, in questi casi, risulta problematico e ti porta via tempo.
Considera che, a rigore, le uniche cose veramente necessarie per il grafico qualitativo (e quindi non perfetto al millesimo per quanto riguarda i calcoli) sono il dominio della funzione, il calcolo dei limiti e la derivata prima. Il resto è un di più. (la derivata seconda a volte può essere utile, spesso con un po' di arguzia si deduce cosa accada a flessi e convessità analizzando i risultati fino alla derivata prima).

[koloko]

Ok quindi accantono anche lo studio del segno della funzione?

[ciampax]

Sì, sì, lascia perdere le robe "algebriche" (diciamo così). Concentrati su quelle "analitiche"

[koloko]

Per quanto riguarda lo studio delle derivate:

[tex]f\left(x\right)'=\frac{-2x^{2}+x+1}{4x^{2}-4x+2}[/tex] il numeratore è [tex]>0[/tex] per [tex]\frac{1-\sqrt{3}}{2}
[tex]f\left(x\right)''=\frac{-16x+8}{\left(4x^{2}-4x+2\right)^{2}}[/tex] il numeratore è [tex]>0[/tex] per [tex]x<\frac{1}{2}[/tex] mentre il denominatore ha radici complesse.

Quindi ricapitolando si ha https://s2.postimg.org/epomf3d6x/Image0004.jpg

La cosa non mi convince, vedo come una grossa incongruenza tra il segno della [tex]f'\left(x\right)[/tex] e [tex]f''\left(x\right)[/tex]

Dove posso aver sbagliato?

[gugo82]

L'incongruenza la vedi perché non hai presente che i criteri di monotonia e di convessità basati sul segno delle derivate funzionano solo su intervalli... Cosa che nel tuo esercizio (svolto bene, peraltro, se si sorvola sul non saper risolvere le disequazioni di secondo grado con $Delta <0$) non si presenta, perché c'è un punto in cui la funzione non è definita che spezza gli intervalli in cui le derivate hanno segno costante.

Farei così.

La $y$ è definita in $RR \setminus \{0\}$, ivi continua e derivabile quante volte si vuole.
Dato che:
\[
\lim_{x\to 0^\pm} y(x) = \mp \frac{\pi}{2}
\]
in $0$ la $y$ presenta un salto.
Inoltre, calcolando tutti i limiti del caso si vede che $y$ diverge positivamente [risp. negativamente] per $x\to - \infty$ [risp. $x\to + \infty$] nonché che il diagramma della funzione ha asintoto obliquo a sinistra ed a destra di equazione $y=-1/2 x + pi/4$.
Lasciando stare altre proprietà della $y$ (e.g., il segno) che conducono a problemi di soluzione non elementare, passiamo allo studio delle derivate.
Abbiamo:
\[
y^\prime (x)=\frac{-2x^2+2x+1}{2(2x^2-2x+1)}
\]
e da ciò segue che $y^\prime$ è positiva in \(]\frac{1-\sqrt{3}}{2} , \frac{1+\sqrt{3}}{2}[ \setminus \{0\}\), nulla in \(\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}\) e negativa altrove; pertanto $y$ è strettamente crescente in \([\frac{1-\sqrt{3}}{2},0[\) ed in \(]0, \frac{1+\sqrt{3}}{2}]\), strettamente decrescente in \(]-\infty , \frac{1-\sqrt{3}}{2}]\) ed in \([\frac{1+\sqrt{3}}{2} ,+\infty[\) ed ha un punto di minimo [risp. massimo] relativo in \(\frac{1-\sqrt{3}}{2}\) [risp. \(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)] (tali estremi non potendo in alcun modo essere assoluti!).
Analogamente, la derivata seconda:
\[
y^{\prime \prime}(x) =\frac{2-4x}{(2x^2-2x+1)^2}
\]
è positiva in \(]-\infty , 1/2[\setminus \{0\}\), nulla in $1/2$ e negativa altrove; dunque la $y$ è strettamente convessa in \(]-\infty , 0[\) ed in \(]0, 1/2]\), strettamente concava in \([1/2,+\infty[\) ed il suo diagramma ha un flesso nel punto di ascissa $1/2$.

Infine, osserva che da quanto testé ricavato si possono dedurre le informazioni che cercavi di ottenere per via diretta all'inizio.
Infatti, dato che $y(\frac{1-\sqrt{3}}{2}) \approx 1.5>0$, risulta $y(x)>0$ in \(]-\infty,0[\) e, visto che $y(\frac{1+\sqrt{3}}{2})\approx -0.4<0$, si ha $y(x)<0$ in \(0,+\infty[\). Pertanto il diagramma non ha intersezione con l'asse delle ascisse e la funzione è positiva [risp. negativa] per $x<0$ [risp. $x>0$].

[koloko]

Grazie, aggiungerei anche che l'immagine che ho messo nel mio ultimo post è palesemente sbagliata ed in contrasto con il risultato delle mie stesse formule, non so cosa avessi in testa quel giorno...