3 Limiti

[Viger1]

ciao a tutti, potresti spiegarmi come si risolvono questi limiti?

1) Lim (cos2x - cosx)/x^2
x->0

2) Lim (sin(2x - 2))/(1-cos(x - 1))
x->1

3) Lim (xcosx - sinx)/x^3
x->0

grazie

[Woody1]

Basta usare Taylor. Nel primo sviluppi cos fino al 2° ordine e il limite torna 3/2; nel 2° fai un sempilce cambio di variabile y=x-1 e sviluppi sin e cos fino al 2° ordine e ti torna +inf; nel 3° sviluppi cos e sin fino al 3° ordine e ti torna -1/3.
Saluti,

Woody

[Viger1]

grazie della spiegazione Woody, per curiosità non ci sarebbe un altro modo per risolverli? te lo chiedo perchè Taylor non è uno dei miei metodi di risoluzione preferiti...

grazie

[Sk_Anonymous]

Prova de l'Hopital.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[fireball1]

Per il primo, cos(2x) = cos^2(x) - sen^2(x) = 2cos^2(x) - 1
perciò il numeratore diventa: 2cos^2(x) - cos(x) - 1 che
si scompone in: (2cos(x) + 1)(cos(x) - 1). Quindi puoi
riscrivere la funzione come ((cos(x) - 1)/x^2)*(2cos(x) + 1) ,
il primo fattore tende a -1/2 (limite notevole di (1 - cos(x))/x^2
cambiato di segno) , il secondo a 3, quindi -3/2.

[fireball1]

Secondo limite: (sin(2x - 2))/(1-cos(x - 1)) per x->1.
Riscriviamo la funzione:
sin(2(x - 1))/(1 - cos(x - 1)) e ora poniamo x - 1 = t
e notiamo che per x->1, t->0. Quindi il limite ora è quello di:
sin(2t)/(1 - cos(t)) per t->0. Ora si possono vedere le ombre
di due limiti notevoli, quello di sin(nx)/x per x->0 (che, come
si può facilmente dimostrare ponendo nx = y, vale n) e quello
di (1 - cos(x))/x per x->0 (che vale 0). Quindi dividiamo per t
numeratore e denominatore, perciò avremo (sin(2t)/t)/((1 - cos(t))/t) ;
il numeratore va a 2, il denominatore a 0, quindi il tutto va a inf.

[cavallipurosangue]

il secondo limite è +inf per x che tende a zero da destra, mentre è -inf per x che tende a zero da sinistra.

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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.

[Woody1]

Ha ragione Cavallipurosangue: sin(2x-2) cambia segno, 1-cos(x-1) è sempre > 0 .

Woody