[2]Trasformazione dominio in cordinate polari

[franbisc]

Non riesco a ricavare le informazioni su $rho$ nella trasformazione di questo dominio:

$D={(x,y)| x^2 +y^2 -2x -2y<=0, x/sqrt(3)<= y <= sqrt(3)x }$

Volendolo dedurre dal grafico ,in questo caso vale la relazione $rho<= 2*raggio*costheta$ o vale solo quando il diametro della circonferenza si trova tutto lungo l'asse x?
Scusate la poca chiarezza,ma effettivamente servirebbe il disegno..

[Brancaleone1]

Prima di tutto ricavi raggio e centro del cerchio: la relazione

$x^2+y^2-2x-2y<=0$

deve equivalere, secondo la relazione fondamentale, a

$(x-a)^2+(y-b)^2-R^2<=0$

$=> x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-R^2<=0$

quindi trovi che

$x^2+y^2-2x-2y=x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-R^2$

$=>{(a=1),(b=1):}=>{(R=sqrt(a^2+b^2)=sqrt2), (C=(1,1)):}$

Con tali raggio e centro la circonferenza passa per l'origine (basta un rapido controllo con il teorema di Pitagora).
Dalla relazione successiva

$x/sqrt3 <=y<=sqrt3x$

emerge che il dominio è compreso tra due rette passanti anch'esse per l'origine, come puoi notare dal grafico:



Facendo "partire" $rho$ dall'origine, esso è massimo quando passa per il centro del cerchio poiché in tal caso corrisponde al diametro, ossia $rho_(max)=2R=2sqrt2$.

Il valore di $rho_(min)$ corrisponde invece alla misura delle due corde:

${(x^2+y^2-2x-2y=0),(y=x/sqrt3):}=>{(O=(0,0)),(A=((3+sqrt3)/2,(1+sqrt3)/2)):}$

${(x^2+y^2-2x-2y=0),(y=sqrt3x):}=> {(O=(0,0)),(B=((1+sqrt3)/2,(3+sqrt3)/2)):}$

Impiegando la formula della distanza tra due punti:

${(OA=sqrt((x_A-x_O)^2+(y_A-y_O)^2)=1+sqrt3),(OB=sqrt((x_B-x_O)^2+(y_B-y_O)^2)=1+sqrt3):}=>rho_(min)=1+sqrt3$

Ora mancano solo i valori di $theta$...

[franbisc]

Ma scusa ...il valore minimo di $rho$ non è 0 (facilmente deducibile dal grafico) ?