[26/1/16] Taylor

[koloko]

Devo calcolare il polinomio di Taylor intorno a 0 ed ordine 4 di
[tex]f(x)=\sin(x+x^{2})-\sin(x^{2})+\frac{1}{2}\log(1+\frac{x^{3}}{3})-x[/tex]
Io ho proceduto così
[tex]f(x)=\sin(x+x^{2})-\sin(x^{2})+\frac{1}{2}\log(1+\frac{x^{3}}{3})-x=[/tex]
[tex]=x+x^{2}-\frac{(x+x^{2})^{3}}{6}+\frac{1}{2}[(1+\frac{x^{3}}{3})-\frac{(1+\frac{x^{3}}{2})^{2}}{2}+\frac{(1+\frac{x^{3}}{2})^{3}}{3}]=[/tex]
[tex]=x+x^{2}-\frac{x^{3}+3x^{4}}{6}+\frac{1}{2}[1+\frac{x^{3}}{3}-\frac{1+x^{3}}{3}]=[/tex]

[tex]=x+x^{2}-\frac{x^{3}+3x^{4}}{6}+\frac{1}{2}+\frac{x^{3}}{6}-\frac{1+x^{3}}{6}=3x^{4}+x^{3}+6x^{2}+6x+2[/tex]

Il widget di Wolfram Alpha invece da tutt'altro risultato, con elementi che partono da $x^4$ in su
Screenshot: http://imgur.com/a/Z2wRh

Soluzione del dilemma?

[Oiram92]

hai dimenticato l'espansione di \(\displaystyle sin(x^2) \) inoltre :

\(\displaystyle \frac{1}{2} log\left(1+\frac{x^3}{3}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^6}{6}+\frac{x^9}{9}-...\right) \)

[koloko]

Ho rifatto i calcoli. Ovviamente nello sviluppo del quadrato di binomio ho omesso tutti i termini di grado maggiore a 4
[tex]x+x^{2}-\frac{(x+x^{2})^{3}}{6}-x^{2}+\frac{1}{2}(\frac{x^{3}}{3})=x+x^{2}-\frac{x^{3}+3x^{4}}{6}-x^{2}+\frac{x^{3}}{6}=x+\frac{x^{4}}{2}[/tex]

[Oiram92]

Ci sei quasi, stavolta hai dimentica il termine \(\displaystyle -x \) alla fine. Dunque:

\(\displaystyle sin(x+x^2) = (x+x^2)-\frac{(x+x^2)^3}{6} + ... = x + x^2 - \frac{x^3}{6} - \frac{x^4}{2} + \left[-\frac{59}{120}x^5 - \frac{x^6}{8} ... \right] \)

\(\displaystyle sin(x^2) = x^2 + \left[ -\frac{x^6}{6} + \frac{x^{10}}{120} ...\right] \)

\(\displaystyle \frac{1}{2} log\left(1+\frac{x^3}{3}\right) = \frac{x^3}{6} + \left[ -\frac{x^6}{36} + \frac{x^9}{162} ... \right]\)

quindi abbiamo che :

\(\displaystyle sin(x+x^2) - sin(x^2) + \frac{1}{2} log\left(1+\frac{x^3}{3}\right) - x = x + x^2 - \frac{x^3}{6} - \frac{x^4}{2} - x^2 + \frac{x^3}{6} - x = - \frac{x^4}{2} \)

inoltre se consideri anche quello che c'è dentro le parentesi quadre vedi che poi avrai tutte potenze superiori a \(\displaystyle 4 \) come nell'immagine che hai postato

[koloko]

"Oiram92":inoltre se consideri anche quello che c'è dentro le parentesi quadre vedi che poi avrai tutte potenze superiori a \(\displaystyle 4 \) come nell'immagine che hai postato

Ok ma tenendo fede alla traccia dell'esercizio, confermi che la soluzione che abbiamo fornito ha il grado richiesto?

[Oiram92]

Dipende da cosa si intende per "ordine 4"..se si intende dire fino alle potenze con esponente \(\displaystyle \leq 4 \) allora si è corretto. Se invece si intende "sviluppare in serie di Taylor centrata in \(\displaystyle 0 \) (alias serie di MacLaurin) troncata al \(\displaystyle 4° \) termine" dovresti considerare anche gli altri termini cioè :

\(\displaystyle sin(x+x^2) = \sum_{n=0}^3 \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} (x+x^2)^{2n+1} \)

\(\displaystyle sin(x^2) = \sum_{n=0}^3 \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} (x^2)^{2n+1} \)

\(\displaystyle \frac{1}{2} \;log\left(1+\frac{x^3}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot \sum_{n=0}^3 \frac{(-1)^{n}}{n+1} \left(\frac{x^3}{3}\right)^{n+1} \)

e non dimenticare il \(\displaystyle -x \) finale