[22/09/15] ][tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}(2\cos(x)-\cos(3x))^{\frac{1}{\sin(x^{2})}}[/tex]

[koloko]

Per la traccia
[tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}(2\cos(x)-\cos(3x))^{\frac{1}{\sin(x^{2})}}[/tex]
sto procedendo così
[tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}(2\cos(x)-\cos(3x))^{\frac{1}{\sin(x^{2})}}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}e^{\frac{1}{\sin(x^{2})}\ln(2\cos(x)-\cos(3x))}[/tex]
al che dando un'occhiata alle relazioni trigonometriche notevoli, ho pensato che la formula di Werner
[tex]\sin(\alpha)\sin(\beta)=\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta))[/tex]
si potesse adattare al mio caso, quindi da [tex]\cos(x)-\cos(3x)[/tex] ho fatto
[tex]\begin{cases}
\begin{array}{c}
\alpha+\beta=x\\
\alpha-\beta=3x
\end{array} & \begin{cases}
\begin{array}{c}
\alpha=2x\\
\beta=-x
\end{array}\end{cases}\end{cases}[/tex]
Tuttavia non ho [tex]\cos(x)-\cos(3x)[/tex] ma [tex]2\cos(x)-\cos(3x)[/tex] quindi non saprei come applicare la formula di Werner

[Ahornach]

Sviluppando con Taylor i due coseni si ottiene che
$$ \lim_{x \to 0} { \left( 2 \cos(x) - \cos(3x) \right)^{\frac{1}{\sin^2(x)}} } = \lim_{x \to 0} { \left( 2- x^2 -1 + \frac{9}{2} x^2 + \text{o} (x^4) \right)^{\frac{1}{\sin^2(x)}} } $$
Questo limite può essere riscritto come
$$ \lim_{x \to 0} { \left( 1 + \frac{7}{2}x^2 \right)^{\frac{1}{\sin^2(x)}} } $$
che si può risolvere attraverso dei limiti notevoli.

[spugna2]

Oppure puoi usare il solito trucchetto:

$ (2\cos(x)-\cos(3x))^{1/sin(x^2)}=(1+(2\cos(x)-\cos(3x)-1))^{1/sin(x^2)}=[(1+(2\cos(x)-\cos(3x)-1))^{1/{2cos(x)-cos(3x)-1}} ]^{{2cos(x)-cos(3x)-1}/{sin(x^2)}$.

L'espressione dentro le parentesi quadre tende a $e$, mentre per l'ultimo esponente puoi esprimere $cos(3x)$ in funzione di $cos(x)$ e usare un paio di limiti notevoli (altrimenti te la cavi anche qui con Taylor).

[francicko]

Usando la forma di triplicazione del coseno abbiamo:
$cos(3x)=4cos^3 (x)-3cosx $
inoltre $sin (x^2)~~x^2$.
$cosx~~(1-x^2/2) $
$cos^2 (x)~~(1-x^2) $
A questo punto basta sostituire al limite iniziale ed usare i limiti notevoli, cioè lo sviluppo in serie arrestato al primo termine, in questo caso il termine in $x^2$, in pratica prendere in considerazione solo i termini in $x^2$ che si ottengono dai calcoli , trascurando gli altri.
$lim_(x->0)(2cosx-4cos^3 (x )+3cosx)^(1/x^2)$ $=lim_(x->0)(5cosx-4cosxcos^2 (x))^(1/x^2) $ $=lim_(x->0)(5(1-x^2/2)-4 (1-x^2/2)(1-x^2))^(1/x^2) $ $=lim_(x->0)(5-5x^2/2-4+2x^2+4x^2)^(1/x^2) $ $=lim_(x->0)(1+(7/2)x^2)^(1/x^2)$ $=lim_(x->0){(1+(7/2)x^2)^(2/(7x^2))}^(7/2)$ $=e^(7/2) $

[koloko]

"Ahornach":Sviluppando con Taylor i due coseni si ottiene che
$$ \lim_{x \to 0} { \left( 2 \cos(x) - \cos(3x) \right)^{\frac{1}{\sin^2(x)}} } = \lim_{x \to 0} { \left( 2- x^2 -1 + \frac{9}{2} x^2 + \text{o} (x^4) \right)^{\frac{1}{\sin^2(x)}} } $$
Questo limite può essere riscritto come
$$ \lim_{x \to 0} { \left( 1 + \frac{7}{2}x^2 \right)^{\frac{1}{\sin^2(x)}} } $$
che si può risolvere attraverso dei limiti notevoli.

Ho scelto il procedimento di Ahornach ed ho risolto così
[tex]\underset{x\rightarrow0}{\lim}(1+\frac{7}{2}x^{2})^{\frac{1}{\sin(x)^{2}}}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}(1+\frac{7}{2}x^{2})^{\frac{1}{\frac{7}{2}x^{2}}\cdot\frac{\frac{7}{2}x^{2}}{\sin(x)^{2}}}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}e^{\frac{\frac{7}{2}x^{2}}{\sin(x)^{2}}}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}e^{\frac{\frac{7}{2}x^{2}}{x^{2}+o(x^{2})}}=e^{\frac{7}{2}}[/tex]
Grazie a tutti