2 Serie ed un integrale
Stabilire il carattere delle seguenti serie
$sum_(n=1)^(oo) 1/(sqrt(n)*(1+n))$
$sum_(n=1)^(oo) 1/(n+5log^3n)$
$intx^3*e^(-x^2)dx$
Potreste aiutarmi con questi tre esercizi che non mi vengono?
Grazie in anticipo
$sum_(n=1)^(oo) 1/(sqrt(n)*(1+n))$
$sum_(n=1)^(oo) 1/(n+5log^3n)$
$intx^3*e^(-x^2)dx$
Potreste aiutarmi con questi tre esercizi che non mi vengono?
Grazie in anticipo
Risposte
Sono tutti e 3 molto semplici...
La prima serie si vede IMMEDIATAMENTE che è convergente
per il fatto che $1/(sqrtn(1+n)) ~~ 1/n^(3/2)$ per $n->+oo$,
un infinitesimo di ordine $3/2>1$.
La seconda serie diverge perché $1/(n+5log^3n) = 1/(n(1+(5log^3n)/n)) ~~ 1/n
in quanto $(log^3n)/n ->0$ per $n->+oo$ (limite notevole)
La prima serie si vede IMMEDIATAMENTE che è convergente
per il fatto che $1/(sqrtn(1+n)) ~~ 1/n^(3/2)$ per $n->+oo$,
un infinitesimo di ordine $3/2>1$.
La seconda serie diverge perché $1/(n+5log^3n) = 1/(n(1+(5log^3n)/n)) ~~ 1/n
in quanto $(log^3n)/n ->0$ per $n->+oo$ (limite notevole)
"Archimede87":
$intx^3*e^(-x^2)dx$
Per questo applica più volte l'integrazione per parti, cominciando ad assumere
come "fattore finito" $x^2$ e come "fattore differenziale" $xe^(-x^2)$.
Per quanto riguarda l'integrale, ho provato ad integrarlo più volte per parti,ma non mi viene il risultato. Inoltre per quanto riguarda le serie i criteri da me studiati sono quelli del confronto, della radice, del rapporto e degli infinitesimi. Non c'è un altro modo per poter risolvere questi esercizi con uno di questi criteri?
Io ho usato il criterio del confronto asintotico... Penso che tu l'abbia fatto...
"Archimede87":
Per quanto riguarda l'integrale, ho provato ad integrarlo più volte per parti,ma non mi viene il risultato. Inoltre per quanto riguarda le serie i criteri da me studiati sono quelli del confronto, della radice, del rapporto e degli infinitesimi. Non c'è un altro modo per poter risolvere questi esercizi con uno di questi criteri?
$intx^3e^(-x^2)dx$
Inizia con la sostituzione $t=x^2->xdx=1/2dt$ per cui
$intx^3e^(-x^2)dx=1/2*intte^(-t)dt=1/2(-t*e^(-t)-e^(-t))=-1/2*e^(-x^2)(x^2+1)+K$
proviamo a farlo come ha detto reynolds, che giustamente ha detto di considerare $xe^(-x^2)$ come fattore differenziale. allora
$intx^3*e^(-x^2)dx=1/2*intx^2*(2xe^(-x^2))dx=1/2*(-x^2e^(-x^2)+int2xe^(-x^2)dx)=1/2(-x^2e^(-x^2)-e^(-x^2))=-1/2e^(-x^2)(x^2+1)+K$
Purtroppo il criterio del cronfonto asintotico non l'ho fatto
Riguardando la prima serie, credo che possa essere svolta anche con il criterio degli infinitesimi, moltiplicando la frazione per $n*sqrtn$.
"Archimede87":
Riguardando la prima serie, credo che possa essere svolta anche con il criterio degli infinitesimi, moltiplicando la frazione per $n*sqrtn$.
basta notare ciò che giustamente ha detto reynolds per confermare la convergenza: si tratta di un infinitesimo di ordine maggiore di $1$, quindi c'è la convergenza
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo