2 quesiti! Disequazione e funzione

[lukino986]

Ciao a tutti...sono nuovo di questo forum!
Non sono molto bravo in matematica...avrei alcuni quesiti da porvi:

1)Come faccio a capire se una funzione è invertibile?
Ad es: Dire se la seguente funzione è invertibile: y=$x^3-3x^2+3x-1$
es2:Dire se la seguente funzione è invertibile: y=cosx+3x

2)Risolvere la disequazione : $e^x$ > $(1)/(x+1)$

Grazie mille a tutti!

[codino75]

"lukino986":Ciao a tutti...sono nuovo di questo forum!
Non sono molto bravo in matematica...avrei alcuni quesiti da porvi:

1)Come faccio a capire se una funzione è invertibile?
Ad es: Dire se la seguente funzione è invertibile: y=$x^3-3x^2+3x-1$
es2:Dire se la seguente funzione è invertibile: y=cosx+3x

2)Risolvere la disequazione : $e^x$ > $(1)/(x+1)$

Grazie mille a tutti!

per la 1): sia y=f(x) una funzione continua. allora essa e' invertibile se e solo se e' strettamente monotona, cioe' se e solo se e' strettamente crescente o strettamente decrescente in tutto l'insieme di definizione

[Russell1]

La disequazione è soddisfatta per $x < -1$ oppure $x>0$
Risoluzione grafica molto veloce.

[lukino986]

grazie mille per le risposte.
un piacere ancora.... potreste illustrarmi qualche passaggio??
Nonostante abbia il libro davanti e i vari appunti non riesco a risolverli! Sono proprio una capra!ihihih
Grazie mille

[Russell1]

Il grafico di $e^x$ si deduce facilmente dalle proprietà dell'esponenziale e di solito, a meno che tu non frequenti un corso di laurea in matematica o in fisica, è dato per buono. In caso contrario la deduzione del grafico dipende dalla definizione di esponenziale!

Il grafico di $\frac{1}{x+1}$, se non ti va di evidenziare una traslazione dell'iperbole equilatera $\frac{1}{x}$, lo puoi ottenere studiando la funzione.
Dominio: $\bb{R} - {-1}$
La retta di equazione $x=-1$ è asintoto verticale ed in particolare il limite sinistro è $- \infty$, quello destro è $+ \infty$
La retta $y=0$ è asintoto orizzontale sia a $+ \infty$ che a $- \infty$

[lukino986]

Grazie mille.
E per quanto riguarda l'invertibilità delle funzioni esposte sopra....qualcuno riesce a fornirmi i passaggi per capire se sono invertibili?
Grazie di nuovo.

[Sk_Anonymous]

"lukino986":Ciao a tutti...sono nuovo di questo forum!
1)Come faccio a capire se una funzione è invertibile?
Ad es: Dire se la seguente funzione è invertibile: $y=x^3-3x^2+3x-1$
Grazie mille a tutti!

Come ti ha spiegato codino75 devi controllare se la funzione è monotona, perchè, visto che si tratta di una funzione continua la monotonia è indispensabile per l'invertibilità.
se puoi usare le derivate non ci sono problemi: il segno della derivata prima ti dice dove la funzione è crescente e dove decrescente. Una funzione la cui derivata non cambia mai il segno è monotona.
Con questa funzione è comunque semplice vedere che si tratta di una funzione monotona, basta osservare che
$y=x^3-3x^2+3x-1=>y=(x-1)^3$ e il cubo è sempre crescente con il suo argomento, anzi è addirittura facile calcolare la funzione inversa $root3y=x-1$ da cui $x=root3y+1$

"lukino986":es2:Dire se la seguente funzione è invertibile: y=cosx+3x

Questa senza derivate è un po' più difficile con le derivate, invece, si ottiene $y'=-sinx+3$ che è positiva per ogni x, quindi anche questa funzione è monotona, e quindi invertibile.