2 Quesiti

[Sk_Anonymous]

Determinare per quali valori di $a,b$ la seguente funzione risulta continua:

$f(x)={(sqrt(|x-1|-2)/(|x|+1)+a,x>1),(b+2,x=1),((e^(1-x)+(2-x)*sqrt(2-x)-2)/(sqrt(1-x))+3,x<1):}$

Calcolare:
$int_-1^(1/2)|arctg((|x|-1)/(|x+1|-2))|dx

[_Tipper]

"Aeneas":Calcolare:
$int_-1^(1/2)|arctg((|x|-1)/(|x+1|-2))|dx

Nell'intervallo di integrazione risulta $x+1 \ge 0$, pertanto $|x+1|-2 = x - 1$, quindi si ottiene

$\int_{-1}^{\frac{1}{2}} |"arctg" (\frac{|x| - 1}{x - 1})| dx = \int_{-1}^{0} |"arctg" (\frac{-x-1}{x-1})| dx + \int_{0}^{\frac{1}{2}} |"arctg" (1)| dx = \int_{-1}^{0} |"arctg" (-1 - \frac{2}{x-1})| dx + \frac{\pi}{8}$

Si consideri ora $\int_{-1}^{0} |"arctg" (-1 - \frac{2}{x-1})| dx$. Ponendo $-1 - \frac{2}{x-1} = t$, da cui $x = 1 - \frac{2}{1+t}$ e $dx = \frac{2}{(1+t)^2} dt$, si ottiene

$2 \int_{0}^{1} |"arctg"(t)| \frac{1}{(1+t)^2} dt = 2 \int_{0}^{1} "arctg"(t) \frac{1}{(1+t)^2} dt$

Integrando per parti (tralasciando la costante moltiplicativa) si ottiene

$\int "arctg"(t) \frac{1}{(1+t)^2} dt = -\frac{1}{1+t} "arctg"(t) + \int \frac{1}{(1+t)(1+t^2)} dt$

$\frac{1}{(1+t)(1+t^2)} = \frac{A}{1+t} + \frac{Bt + C}{1+t^2} \quad \implies \quad A=C=\frac{1}{2}, B = -\frac{1}{2}$

quindi

$\int \frac{1}{(1+t)(1+t^2)} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+t} dt + \int \frac{-\frac{1}{2} t + \frac{1}{2}}{1+t^2} dt = \frac{1}{2} \ln |1+t| - \frac{1}{4} \int \frac{2t}{1+t^2} dt + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+t^2} dt = \frac{1}{2} \ln|1+t| - \frac{1}{4} \ln(1+t^2) + \frac{1}{2} "arctg"(t)$

Rimettendo assieme i pezzi si trova il risultato.

[_Tipper]

"Aeneas":Determinare per quali valori di $a,b$ la seguente funzione risulta continua:

$f(x)={(sqrt(|x-1|-2)/(|x|+1)+a,x>1),(b+2,x=1),((e^(1-x)+(2-x)*sqrt(2-x)-2)/(sqrt(1-x))+3,x<1):}$

C'è qualcosa che non va, visto che $\lim_{x \to 1^{+}} f(x)$ non esiste.