2 limiti a 2 variabili

[Vincent2]

Ho da calcolare questi 2 limiti per

$lim_(x,y -> 0,0) x^2/y$
Ne verifico l'esistenza vedendo sei limiti sugli assi coordinati sono uguali.
Mi viene che in effetti il limite non esiste in quanto f(x,0) non esiste. E' giusto il ragionamento?

In quest'altro invece i limiti vengono diversi
$lim_(x,y -> 0,0) ye^(-1/(x^2))$


Grazie per le conferme

Inoltre volevo sapere, se i limiti sugli assi coordinati sono uguali, f(x,y) tende a quel valore di $l$??

[fireball1]

"Vincent":Ho da calcolare questi 2 limiti per

$lim_(x,y -> 0,0) x^2/y$
Ne verifico l'esistenza vedendo sei limiti sugli assi coordinati sono uguali.
Mi viene che in effetti il limite non esiste in quanto f(x,0) non esiste. E' giusto il ragionamento?

No, non puoi scrivere $f(x,0)$ perché la funzione sull'asse x (di equazione $y=0$) non è definita!

Potresti calcolare il limite lungo la retta $y=x$ e la parabola $y=x^2$: nel primo caso viene 0, nell'altro,
poiché la funzione vale 1 in ogni punto della parabola (tranne ovviamente $(0,0)$), viene 1. Quindi non esiste.

[fireball1]

"Vincent":Inoltre volevo sapere, se i limiti sugli assi coordinati sono uguali, f(x,y) tende a quel valore di $l$??

Assolutamente no; l'esistenza di un limite in più variabili è qualcosa di molto più forte...
Dovresti dimostrare che per OGNI curva che scegli per avvicinarti al punto di accumulazione, il limite fa $l$ (almeno, per ogni retta che passa per il punto di accumulazione).
Per questo di solito, quando si deve CALCOLARE un limite, si fa uso delle coordinate polari (in due variabili), oppure si ricorre a maggiorazioni e si usa poi il teorema del confronto.

[Zkeggia]

se io scrivo in coordinate polari però mi viene:
$lim_(r->0) r^2*(cos^2theta)/(rsen^2theta) = 0$ quindi il limite non dovrebbe esistere? (da qualunque parte ci avviciniamo a 0 il limite fa sempre 0)

[fireball1]

Non credo... La quantità $(cos^2 theta)/(sin theta)$, infatti, non è limitata in $(0,2pi)$.

[Zkeggia]

Ah ok perfetto, in effetti per $theta$ tendente a 0 ci sarebbe da discutere il limite...

[Vincent2]

"fireball":[quote="Vincent"]Inoltre volevo sapere, se i limiti sugli assi coordinati sono uguali, f(x,y) tende a quel valore di $l$??

Assolutamente no; l'esistenza di un limite in più variabili è qualcosa di molto più forte...
Dovresti dimostrare che per OGNI curva che scegli per avvicinarti al punto di accumulazione, il limite fa $l$ (almeno, per ogni retta che passa per il punto di accumulazione).
Per questo di solito, quando si deve CALCOLARE un limite, si fa uso delle coordinate polari (in due variabili), oppure si ricorre a maggiorazioni e si usa poi il teorema del confronto.[/quote]

Ho capito
L'esercizio però mi chiede solo di verificare se le funzioni convergono se x,y -> 0,0.
Questo metodo basta? O ne verifica solo l'esistenza (quindi potrebbe essere pure $+infty$?)

Se poi volessi calcolare tale limite, cosa intendete per passaggio a coordinate polari e poi calcolo del limite? (Il passaggio a coordinate polari lo abbiamo fatto solo per gli integrali doppi)
(Non è argomento del programma mio, ma è interessate e sul libro non c'è)

[fireball1]

"Vincent":
Ho capito
L'esercizio però mi chiede solo di verificare se le funzioni convergono se x,y -> 0,0.
Questo metodo basta? O ne verifica solo l'esistenza (quindi potrebbe essere pure $+infty$?)

Se poi volessi calcolare tale limite, cosa intendete per passaggio a coordinate polari e poi calcolo del limite? (Il passaggio a coordinate polari lo abbiamo fatto solo per gli integrali doppi)
(Non è argomento del programma mio, ma è interessate e sul libro non c'è)

E' più facile verificare la non esistenza che l'esistenza: basta prendere due curve lungo le quali ci si avvicina al punto ma il limite viene differente.
Se non si riescono a trovare due curve siffatte, allora potrebbe darsi che il limite esista e sia uguale al valore che si ottiene calcolandolo lungo ciascuna
di queste curve (dev'essere lo stesso, ovviamente!). In questo caso si possono usare le coordinate polari o il teorema del confronto per verificare
che effettivamente il limite è il valore $l$ ottenuto eseguendolo lungo ciascuna di queste curve.
Nel forum ci sono degli esercizi del genere... Fai una ricerca. In alternativa, ti segnalo che questi metodi sono spiegati abbastanza bene
sul libro "Lezioni di Analisi Matematica" di Bertsch - Dal Passo, è un libro di Analisi per Ingegneria (vecchio ordinamento) (con la copertina di Lupo Alberto ).