2 Esercizi sulle Serie
Salve a tutti, vorrei proporvi 2 esercizi d'esame sulla convergenza di una serie:
$1) sum_(n =2) (-1)^n [(n^4 +n^2)^(1/3) -(n^4 +1)^(1/3)]ln(n/(n-1))$.
Essendo una serie a segni alterni ho impostato il modulo della stessa. Il mio tentativo di calcolo è stato sfruttare il limite notevole del logaritmo, ponendolo come $ln(1+1/(n-1))$ e, eliminando gli infiniti di ordine inferiore e spezzando la serie nella somma di due serie diverse, sono arrivato a $(n^(4/3))/n$. Il punto è che adesso l'armonica corrispondente diverge, quando invece questa serie dovrebbere convergere.
$2) sum_(n=1) (n^2 *3^n)/(n!)$. Questo esercizio mi sembra veramente facilissimo, ma non capisco dove stia sbagliando: criterio del rapporto, si annullano i vari parametri e rimango con $3(n+1)/n^2$. Questa è equivalente a $1/n$ e quindi dovrebbe divergere, ma in realtà la serie converge.
$1) sum_(n =2) (-1)^n [(n^4 +n^2)^(1/3) -(n^4 +1)^(1/3)]ln(n/(n-1))$.
Essendo una serie a segni alterni ho impostato il modulo della stessa. Il mio tentativo di calcolo è stato sfruttare il limite notevole del logaritmo, ponendolo come $ln(1+1/(n-1))$ e, eliminando gli infiniti di ordine inferiore e spezzando la serie nella somma di due serie diverse, sono arrivato a $(n^(4/3))/n$. Il punto è che adesso l'armonica corrispondente diverge, quando invece questa serie dovrebbere convergere.
$2) sum_(n=1) (n^2 *3^n)/(n!)$. Questo esercizio mi sembra veramente facilissimo, ma non capisco dove stia sbagliando: criterio del rapporto, si annullano i vari parametri e rimango con $3(n+1)/n^2$. Questa è equivalente a $1/n$ e quindi dovrebbe divergere, ma in realtà la serie converge.
Risposte
1) Il fatto che la serie dei moduli diverga non implica che la serie senza i moduli diverga, l'implicazione vale solo se converge la serie dei moduli; quindi non puoi trarre informazioni dalla tua stima asintotica (che mi sembra corretta).
2) Stai facendo un mix, il criterio del rapporto ti dice "studia il limite del rapporto tra $a_{n+1}$ e $a_n$, se questo è $<1$ allora la serie converge, se è $>1$ la serie diverge e se è $=1$ non puoi dire nulla"; quindi non devi studiare il comportamento asintotico del termine $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ per confrontarlo con quello del termine generico di una serie nota, non è questo che ti richiede il criterio del rapporto. Devi solo calcolare il limite di tale rapporto.
Hai mischiato criterio del rapporto e criterio del confronto asintotico.
P.S.: Per favore, potresti aprire altri messaggi per inserire altri esercizi invece di modificarne alcuni già scritti?
Grazie!
2) Stai facendo un mix, il criterio del rapporto ti dice "studia il limite del rapporto tra $a_{n+1}$ e $a_n$, se questo è $<1$ allora la serie converge, se è $>1$ la serie diverge e se è $=1$ non puoi dire nulla"; quindi non devi studiare il comportamento asintotico del termine $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ per confrontarlo con quello del termine generico di una serie nota, non è questo che ti richiede il criterio del rapporto. Devi solo calcolare il limite di tale rapporto.
Hai mischiato criterio del rapporto e criterio del confronto asintotico.
P.S.: Per favore, potresti aprire altri messaggi per inserire altri esercizi invece di modificarne alcuni già scritti?
Grazie!
Chiedo scusa riguardo all'aggiunta del secondo esercizio, per cui, come mi hai sottolineato, ho fatto un errore madornale confondendo clamorosamente più teoremi. In pratica il secondo è tranquillamente uscito.
Riguardo il primo, so che il non essere assolutamente convergente non implica nient'altro, ma il punto è che non riesco a studiare la serie. Applicare Leibniz mi sembra che porti a un mare di calcoli, e credo che mi stia sfuggendo qualcosa di più "semplice".
Riguardo il primo, so che il non essere assolutamente convergente non implica nient'altro, ma il punto è che non riesco a studiare la serie. Applicare Leibniz mi sembra che porti a un mare di calcoli, e credo che mi stia sfuggendo qualcosa di più "semplice".
A me la prima risulta assolutamente convergente.
Sfruttando la ben nota identità
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $
con $a := (n^4 +n^2)^(1/3) $ e $b := (n^4 +1)^(1/3) $:
$a - b = (n^4 +n^2)^(1/3) - (n^4 +1)^(1/3) = \frac{n^4 + n^2 - n^4 - 1}{(n^4 +n^2)^(2/3) + [(n^4 + n^2)(n^4 + 1)]^(1/3) + (n^4 +1)^(2/3)} = $
$ = \frac{n^2 - 1}{(n^4 +n^2)^(2/3) + [(n^4 + n^2)(n^4 + 1)]^(1/3) + (n^4 +1)^(2/3)} $
Pertanto si ha:
$ \sum_{n = 2}^{+\infty} [(n^4 +n^2)^(1/3) -(n^4 +1)^(1/3)]ln(n/(n-1)) = $
$ = \sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{n^2 - 1}{(n^4 +n^2)^(2/3) + [(n^4 + n^2)(n^4 + 1)]^(1/3) + (n^4 +1)^(2/3)} ln(1 + 1/(n-1)) $[tex]\sim[/tex]
[tex]\sim[/tex] $\sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{(n - 1)(n + 1)}{(n^4 +n^2)^(2/3) + [(n^4 + n^2)(n^4 + 1)]^(1/3) + (n^4 +1)^(2/3)} \cdot 1/(n-1) = $
$ = \sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{n + 1}{(n^4 +n^2)^(2/3) + [(n^4 + n^2)(n^4 + 1)]^(1/3) + (n^4 +1)^(2/3)} $[tex]\sim[/tex] $ \sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{n}{3n^{8/3}} = 1/3 \sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{1}{n^{5/3}}$
L'ultima serie scritta è la ben nota serie armonica generalizzata con $\alpha = 5/3 > 1 $ notoriamente convergente.
Sfruttando la ben nota identità
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $
con $a := (n^4 +n^2)^(1/3) $ e $b := (n^4 +1)^(1/3) $:
$a - b = (n^4 +n^2)^(1/3) - (n^4 +1)^(1/3) = \frac{n^4 + n^2 - n^4 - 1}{(n^4 +n^2)^(2/3) + [(n^4 + n^2)(n^4 + 1)]^(1/3) + (n^4 +1)^(2/3)} = $
$ = \frac{n^2 - 1}{(n^4 +n^2)^(2/3) + [(n^4 + n^2)(n^4 + 1)]^(1/3) + (n^4 +1)^(2/3)} $
Pertanto si ha:
$ \sum_{n = 2}^{+\infty} [(n^4 +n^2)^(1/3) -(n^4 +1)^(1/3)]ln(n/(n-1)) = $
$ = \sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{n^2 - 1}{(n^4 +n^2)^(2/3) + [(n^4 + n^2)(n^4 + 1)]^(1/3) + (n^4 +1)^(2/3)} ln(1 + 1/(n-1)) $[tex]\sim[/tex]
[tex]\sim[/tex] $\sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{(n - 1)(n + 1)}{(n^4 +n^2)^(2/3) + [(n^4 + n^2)(n^4 + 1)]^(1/3) + (n^4 +1)^(2/3)} \cdot 1/(n-1) = $
$ = \sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{n + 1}{(n^4 +n^2)^(2/3) + [(n^4 + n^2)(n^4 + 1)]^(1/3) + (n^4 +1)^(2/3)} $[tex]\sim[/tex] $ \sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{n}{3n^{8/3}} = 1/3 \sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{1}{n^{5/3}}$
L'ultima serie scritta è la ben nota serie armonica generalizzata con $\alpha = 5/3 > 1 $ notoriamente convergente.
Grazie mille, non ci avevo proprio pensato alla differenza di cubi, gentilissimo.
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