2 esercizi sul calcolo di volumi di solidi di rotazione
Salve a tutti, ho dei forti dubbi su come calcolare il volume di un solido di rotazione con gli integrali:
primo esercizio: considera il trapezoide limitata dal grafico della funzione $ y=e^(-x) $ e dall’asse x per $ -1<=x<=0 $ . Determina il volume del solido ottenuto dalla rotazione del trapezoide intorno alla retta $ y = -2 $ [ $ pi/2(e^2+8e-9) $ ]
Per semplificare le cose, ho traslato il tutto di un vettore $ vec(v)(0,2) $ così da poter portare la retta y=-2 coincidente con l’asse x; quindi l’equazione traslata diventa $ y=e^(-x)+2 $. Fatto ciò posso applicare la formula per trovare il volume di un solidocruotato rispetto l’asse x, ovvero $ V = piint_(-1)^(0) (e^-x+2)^2 dx $ , che mi porta ad un risultato diverso da quello del libro...
Secondo esercizio: considera la regione di piano S limitata dall’arco della parabola di equazione $ y=4-x^2, 0<=x<=2 $ , dall’asse y e dalla retta x=2 e y=5. Determina il volume del solido:
a. Generato dalla rotazione della regione S di un giro completo intorno all’asse y [12 $ pi $ ]
b. Generato dalla rotazione della regione S di un giro completo intorno alla retta x=-1 [ $ (64pi)/3 $ ]
Ho utilizzato il metodo dei gusci cilindrici per entrambe le richieste:
a. $ V=2piint_(0)^(2) x(4-x^2) dx =8pi $
b. Anche qua una traslazione di vettore $ vec(v)(1,0) $ e ho calcolato con lo stesso metodo dei gusci, sostituendo l’equazione traslata, ma mi viene V=$ (32pi)/3 $
Anche qua il risultato del libro è diverso dai miei risultati...
primo esercizio: considera il trapezoide limitata dal grafico della funzione $ y=e^(-x) $ e dall’asse x per $ -1<=x<=0 $ . Determina il volume del solido ottenuto dalla rotazione del trapezoide intorno alla retta $ y = -2 $ [ $ pi/2(e^2+8e-9) $ ]
Per semplificare le cose, ho traslato il tutto di un vettore $ vec(v)(0,2) $ così da poter portare la retta y=-2 coincidente con l’asse x; quindi l’equazione traslata diventa $ y=e^(-x)+2 $. Fatto ciò posso applicare la formula per trovare il volume di un solidocruotato rispetto l’asse x, ovvero $ V = piint_(-1)^(0) (e^-x+2)^2 dx $ , che mi porta ad un risultato diverso da quello del libro...
Secondo esercizio: considera la regione di piano S limitata dall’arco della parabola di equazione $ y=4-x^2, 0<=x<=2 $ , dall’asse y e dalla retta x=2 e y=5. Determina il volume del solido:
a. Generato dalla rotazione della regione S di un giro completo intorno all’asse y [12 $ pi $ ]
b. Generato dalla rotazione della regione S di un giro completo intorno alla retta x=-1 [ $ (64pi)/3 $ ]
Ho utilizzato il metodo dei gusci cilindrici per entrambe le richieste:
a. $ V=2piint_(0)^(2) x(4-x^2) dx =8pi $
b. Anche qua una traslazione di vettore $ vec(v)(1,0) $ e ho calcolato con lo stesso metodo dei gusci, sostituendo l’equazione traslata, ma mi viene V=$ (32pi)/3 $
Anche qua il risultato del libro è diverso dai miei risultati...
Risposte
Non vorrei sbagliarmi, ma a occhio se sposti il riferimento la rotazione non e' piu attorno all'asse, ma attorno al nuovo assee da li l'incongruenza. A parte il fatto che ti complichi la vita e non semplifichi.
Molto semplicemente, per il primo basta intergrare la funzione $pi [(y+2)^2-4]dx$
Analogamente per l'altro esercizio
Molto semplicemente, per il primo basta intergrare la funzione $pi [(y+2)^2-4]dx$
Analogamente per l'altro esercizio
Me lo spieghi meglio? Grazie
@antonio: hai sbagliato sezione, è un problema di analisi di base. Sposto.
Quando la regione ruota attorno a y=-2, costruisce un solido di rotazione "toroidale".
Se prendi due 2 piani ortogonali a x e a distanza dx, ottieni infiniti "anellini" di superfice $pi(R_e^2-R_i^2)$ e altezza dx.
Ma il raggio esterno e' $R_e=f(x)+2$ (la distanza tra la retta di rotazione e la funzione $e^(-x)$ e il raggio interno e' proprio 2.
Quindi, $V=int(pi(R_e^2-R_i^2)=int(pi[(f(x)+2)^2-2^2]$ integrato tra i limiti del campo $x_1=0$ e $x_2=2$.
Stessa storia per la parabola, solo che ora conviene descrivere il volume come un guscio di superficie laterale
$2pixdx$ e altezza
$(5-f(x))$, ottenendo l'integrale
$V=int2pix(5-f(x))dx=int2pix(1+x^2)dx$
Lascio a te la soluzione del terzo (non fare cambi di coordinate).
Alternativamente, calcoli l'area A della sezione di rotazione, la distanza $x_G$ dal suo baricentro dall'asse y, e il volume, per Stevino, e' $2pix_G*A$
Se prendi due 2 piani ortogonali a x e a distanza dx, ottieni infiniti "anellini" di superfice $pi(R_e^2-R_i^2)$ e altezza dx.
Ma il raggio esterno e' $R_e=f(x)+2$ (la distanza tra la retta di rotazione e la funzione $e^(-x)$ e il raggio interno e' proprio 2.
Quindi, $V=int(pi(R_e^2-R_i^2)=int(pi[(f(x)+2)^2-2^2]$ integrato tra i limiti del campo $x_1=0$ e $x_2=2$.
Stessa storia per la parabola, solo che ora conviene descrivere il volume come un guscio di superficie laterale
$2pixdx$ e altezza
$(5-f(x))$, ottenendo l'integrale
$V=int2pix(5-f(x))dx=int2pix(1+x^2)dx$
Lascio a te la soluzione del terzo (non fare cambi di coordinate).
Alternativamente, calcoli l'area A della sezione di rotazione, la distanza $x_G$ dal suo baricentro dall'asse y, e il volume, per Stevino, e' $2pix_G*A$
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